Математический анализ Примеры

$g (r) = \frac{7 r - 3}{e^{r} + 9}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ имеет вид $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ , где $f (r) = 7 r - 3$ и $g (r) = e^{r} + 9$ .

$\frac{(e^{r} + 9) \frac{d}{d r} [7 r - 3] - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $7 r - 3$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [- 3]$ .

$\frac{(e^{r} + 9) (\frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [- 3]) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $7$ является константой относительно $r$ , производная $7 r$ по $r$ равна $7 \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{(e^{r} + 9) (7 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 3]) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(e^{r} + 9) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 3]) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 2.4

Умножим $7$ на $1$ .

$\frac{(e^{r} + 9) (7 + \frac{d}{d r} [- 3]) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $r$ , производная $- 3$ относительно $r$ равна $0$ .

$\frac{(e^{r} + 9) (7 + 0) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $7$ и $0$ .

$\frac{(e^{r} + 9) \cdot 7 - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Перенесем $7$ влево от $e^{r} + 9$ .

$\frac{7 \cdot (e^{r} + 9) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $e^{r} + 9$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [e^{r}] + \frac{d}{d r} [9]$ .

$\frac{7 (e^{r} + 9) - (7 r - 3) (\frac{d}{d r} [e^{r}] + \frac{d}{d r} [9])}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [a^{r}]$ имеет вид $a^{r} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{7 (e^{r} + 9) - (7 r - 3) (e^{r} + \frac{d}{d r} [9])}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $9$ является константой относительно $r$ , производная $9$ относительно $r$ равна $0$ .

$\frac{7 (e^{r} + 9) - (7 r - 3) (e^{r} + 0)}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 4.2

Добавим $e^{r}$ и $0$ .

$\frac{7 (e^{r} + 9) - (7 r - 3) e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 e^{r} + 7 \cdot 9 - (7 r - 3) e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 e^{r} + 7 \cdot 9 + (- (7 r) - - 3) e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 e^{r} + 7 \cdot 9 - (7 r) e^{r} - - 3 e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Умножим $7$ на $9$ .

$\frac{7 e^{r} + 63 - (7 r) e^{r} - - 3 e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 5.4.1.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{7 e^{r} + 63 - 7 r e^{r} - - 3 e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 5.4.1.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{7 e^{r} + 63 - 7 r e^{r} + 3 e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 5.4.2

Добавим $7 e^{r}$ и $3 e^{r}$ .

$\frac{10 e^{r} + 63 - 7 r e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 5.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- 7 e^{r} r + 10 e^{r} + 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 7 e^{r} r$ .

$\frac{- (7 e^{r} r) + 10 e^{r} + 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $10 e^{r}$ .

$\frac{- (7 e^{r} r) - (- 10 e^{r}) + 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 5.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (7 e^{r} r) - (- 10 e^{r})$ .

$\frac{- (7 e^{r} r - 10 e^{r}) + 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 5.9

Перепишем $63$ в виде $- 1 (- 63)$ .

$\frac{- (7 e^{r} r - 10 e^{r}) - 1 (- 63)}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 5.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (7 e^{r} r - 10 e^{r}) - 1 (- 63)$ .

$\frac{- (7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63)}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 5.11

Перепишем $- (7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63)$ в виде $- 1 (7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63)$ .

$\frac{- 1 (7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63)}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 5.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Этап 5.13

Изменим порядок множителей в $- \frac{7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$ .

$- \frac{7 r e^{r} - 10 e^{r} - 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$