Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (30 x + \frac{85 (y^{2})}{569 x^{3.63} x^{6}})$

Этап 1

Умножим $x^{3.63}$ на $x^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем $x^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (30 x + \frac{85 y^{2}}{569 (x^{6} x^{3.63})})]$

Этап 1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [\ln (30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{6 + 3.63}})]$

Этап 1.3

Добавим $6$ и $3.63$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перенесем $x^{6}$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 (x^{6} x^{3.63})}} \frac{d}{d x} [30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}]$

Этап 2.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{6 + 3.63}}} \frac{d}{d x} [30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}]$

Этап 2.3.3

Добавим $6$ и $3.63$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} \frac{d}{d x} [30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [\frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}]$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [\frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}])$

Этап 3.2

Поскольку $30$ является константой относительно $x$ , производная $30 x$ по $x$ равна $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}])$

Этап 3.4

Умножим $30$ на $1$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{d}{d x} [\frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}])$

Этап 3.5

Поскольку $\frac{85 y^{2}}{569}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}$ по $x$ равна $\frac{85 y^{2}}{569} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9.63}}]$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{85 y^{2}}{569} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9.63}}])$

Этап 3.6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем $\frac{1}{x^{9.63}}$ в виде ${(x^{9.63})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{85 y^{2}}{569} \frac{d}{d x} [{(x^{9.63})}^{- 1}])$

Этап 3.6.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{9.63})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{85 y^{2}}{569} \frac{d}{d x} [x^{9.63 \cdot - 1}])$

Этап 3.6.2.2

Умножим $9.63$ на $- 1$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{85 y^{2}}{569} \frac{d}{d x} [x^{- 9.63}])$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 9.63$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{85 y^{2}}{569} (- 9.63 x^{- 10.63}))$

Этап 3.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Объединим $- 9.63$ и $\frac{85 y^{2}}{569}$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{- 9.63 (85 y^{2})}{569} x^{- 10.63})$

Этап 3.8.2

Умножим $85$ на $- 9.63$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{- 818.55 y^{2}}{569} x^{- 10.63})$

Этап 3.8.3

Объединим $\frac{- 818.55 y^{2}}{569}$ и $x^{- 10.63}$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{- 818.55 y^{2} x^{- 10.63}}{569})$

Этап 3.8.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1

Перенесем $x^{- 10.63}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{- 818.55 y^{2}}{569 x^{10.63}})$

Этап 3.8.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 - \frac{818.55 y^{2}}{569 x^{10.63}})$

Этап 3.8.4.3

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 - \frac{818.55 y^{2}}{569 x^{10.63}})$ .

$(30 - \frac{818.55 y^{2}}{569 x^{10.63}}) \frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}}$