Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (8 x^{2} - 7 x + 12) + \ln (8)$

Этап 1

По правилу суммы производная $\ln (8 x^{2} - 7 x + 12) + \ln (8)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\ln (8 x^{2} - 7 x + 12)] + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (8 x^{2} - 7 x + 12)] + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (8 x^{2} - 7 x + 12)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 8 x^{2} - 7 x + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 x^{2} - 7 x + 12$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 7 x + 12] + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Этап 2.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 7 x + 12] + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 x^{2} - 7 x + 12$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 7 x + 12] + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $8 x^{2} - 7 x + 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Этап 2.3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{2}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Этап 2.5

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (8 (2 x) - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (8 (2 x) - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Этап 2.7

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (8 (2 x) - 7 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Этап 2.8

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Этап 2.9

Умножим $- 7$ на $1$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Этап 2.10

Добавим $16 x - 7$ и $0$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Этап 3

Поскольку $\ln (8)$ является константой относительно $x$ , производная $\ln (8)$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7) + 0$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7)$ и $0$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7)$

Этап 4.2

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7)$ .

$(16 x - 7) \frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12}$

Этап 4.3

Умножим $16 x - 7$ на $\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12}$ .

$\frac{16 x - 7}{8 x^{2} - 7 x + 12}$