Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (\cot (x) - \csc (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \cot (x) - \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cot (x) - \csc (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cot (x) - \csc (x)$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

Этап 2

По правилу суммы производная $\cot (x) - \csc (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])$

Этап 3

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])$

Этап 4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \csc (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) - \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Этап 5

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) - (- \csc (x) \cot (x)))$

Этап 6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + 1 (\csc (x) \cot (x)))$

Этап 6.2

Умножим $\csc (x)$ на $1$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x))$ .

$(- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x)) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \csc^{2} (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} + \csc (x) \cot (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$

Этап 7.3

Объединим $\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$ и $\csc^{2} (x)$ .

$- \frac{\csc^{2} (x)}{\cot (x) - \csc (x)} + \csc (x) \cot (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$

Этап 7.4

Умножим $\csc (x) \cot (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Объединим $\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$ и $\csc (x)$ .

$- \frac{\csc^{2} (x)}{\cot (x) - \csc (x)} + \frac{\csc (x)}{\cot (x) - \csc (x)} \cot (x)$

Этап 7.4.2

Объединим $\frac{\csc (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$ и $\cot (x)$ .

$- \frac{\csc^{2} (x)}{\cot (x) - \csc (x)} + \frac{\csc (x) \cot (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$

Этап 7.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$

Этап 7.6

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cot (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$

Этап 7.6.2

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (\cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Этап 7.6.3

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (\cot (x))$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) + \cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Этап 7.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- \csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) + \cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Этап 7.8

Вынесем множитель $- 1$ из $\cot (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) - 1 (- \cot (x)))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Этап 7.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\csc (x)) - 1 (- \cot (x))$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x) - \cot (x)))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Этап 7.10

Перепишем $- (\csc (x) - \cot (x))$ в виде $- 1 (\csc (x) - \cot (x))$ .

$\frac{\csc (x) (- 1 (\csc (x) - \cot (x)))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Этап 7.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\csc (x) (\csc (x) - \cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$