Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (\cos (\sqrt[3]{x + 2}))$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x + 2}$ в виде ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}))]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})]$

Этап 3

Переведем $\frac{1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}$ в $\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})]$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{3}}])$

Этап 4.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{3}}])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{3}}])$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $x + 2$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 2]))$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $x + 2$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

Этап 6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

Этап 7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

Этап 9.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

Этап 10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

Этап 10.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

Этап 10.3

Перенесем ${(x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

Этап 10.4

Объединим $\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$ и $\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Этап 10.5

Объединим $\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ и $\frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 11

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 13

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

Этап 14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Этап 14.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Выразим $\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\frac{1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})} \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.2

Объединим $\frac{1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}$ и $\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$- \frac{\frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (\frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 15.4

Объединим.

$- \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}})}$

Этап 15.5

Умножим $\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ на $1$ .

$- \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}})}$

Этап 15.6

Перенесем $3$ влево от $\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$- \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot \cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.7

Разделим дроби.

$- (\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})})$

Этап 15.8

Переведем $\frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}$ в $\tan ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$- (\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \tan ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}))$

Этап 15.9

Объединим $\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$ и $\tan ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$- \frac{\tan ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$