Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (1 - \sin (x^{2}))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 1 - \sin (x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $1 - \sin (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 - \sin (x^{2})]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x^{2})]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 - \sin (x^{2})$ .

$\frac{1}{1 - \sin (x^{2})} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x^{2})]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1 - \sin (x^{2})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x^{2})]$ .

$\frac{1}{1 - \sin (x^{2})} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x^{2})])$

Этап 2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{1 - \sin (x^{2})} (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x^{2})])$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \sin (x^{2})]$ .

$\frac{1}{1 - \sin (x^{2})} \frac{d}{d x} [- \sin (x^{2})]$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x^{2})$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$ .

$\frac{1}{1 - \sin (x^{2})} (- \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})])$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2}$ .

$\frac{1}{1 - \sin (x^{2})} (- (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Этап 3.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{1 - \sin (x^{2})} (- (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{1 - \sin (x^{2})} (- (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{1 - \sin (x^{2})}$ и $\cos (x^{2})$ .

$- \frac{\cos (x^{2})}{1 - \sin (x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{\cos (x^{2})}{1 - \sin (x^{2})} (2 x)$

Этап 4.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{\cos (x^{2})}{1 - \sin (x^{2})} x$

Этап 4.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{\cos (x^{2})}{1 - \sin (x^{2})}$ .

$\frac{- 2 \cos (x^{2})}{1 - \sin (x^{2})} x$

Этап 4.3.3

Объединим $\frac{- 2 \cos (x^{2})}{1 - \sin (x^{2})}$ и $x$ .

$\frac{- 2 \cos (x^{2}) x}{1 - \sin (x^{2})}$

Этап 4.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \cos (x^{2}) x}{1 - \sin (x^{2})}$

Этап 4.3.4.2

Изменим порядок множителей в $2 \cos (x^{2}) x$ .

$- \frac{2 x \cos (x^{2})}{1 - \sin (x^{2})}$