Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x)))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \frac{d}{d x} [2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))]$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))])$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \ln (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (2 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))])$

Этап 3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (2 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))])$

Этап 4

Объединим $2$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))])$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\tan (5 x)$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 5.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\tan (5 x)$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{1}{\tan (5 x)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 6

Выразим $\tan (5 x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{1}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 7

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 8

Переведем $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ в $\cot (5 x)$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $5 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Этап 9.2

Производная $\tan (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\sec^{2} (u_{3})$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Этап 9.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $5 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Этап 10

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1))$

Этап 10.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) \cdot 5)$

Этап 10.3.2

Перенесем $5$ влево от $\cot (5 x) \sec^{2} (5 x)$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + 5 \cdot (\cot (5 x) \sec^{2} (5 x)))$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \cdot \frac{2}{x} + \frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x))$

Этап 11.2

Умножим $\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ на $\frac{2}{x}$ .

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x))$

Этап 11.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + 5 \frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)$

Этап 11.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ .

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)$

Этап 11.4.2

Объединим $\frac{5}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ и $\cot (5 x)$ .

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5 \cot (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \sec^{2} (5 x)$

Этап 11.4.3

Объединим $\frac{5 \cot (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ и $\sec^{2} (5 x)$ .

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$

Этап 11.5

Чтобы записать $\frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 11.6

Умножим $\frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) x}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x}$

Этап 11.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 + 5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) x}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x}$

Этап 11.8

Изменим порядок множителей в $\frac{2 + 5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) x}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x}$ .

$\frac{2 + 5 x \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{x (2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x)))}$