Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (x^{4} (\cos (x) + \sin (x)))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} (\cos (x) + \sin (x))]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} (\cos (x) + \sin (x))]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ .

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} \frac{d}{d x} [x^{4} (\cos (x) + \sin (x))]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = \cos (x) + \sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)] + (\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3

По правилу суммы производная $\cos (x) + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + (\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + (\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 5

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (- \sin (x) + \cos (x)) + (\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (- \sin (x) + \cos (x)) + (\cos (x) + \sin (x)) (4 x^{3}))$

Этап 6.2

Перенесем $4$ влево от $\cos (x) + \sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (- \sin (x) + \cos (x)) + 4 \cdot (\cos (x) + \sin (x)) x^{3})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x) + \cos (x)) + 4 (\cos (x) + \sin (x)) x^{3})$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 (\cos (x) + \sin (x)) x^{3})$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + (4 \cos (x) + 4 \sin (x)) x^{3})$

Этап 7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3})$

Этап 7.5

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3})$ .

$(x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)}$

Этап 7.6

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{4} \cos (x)$ .

$(x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} (\cos (x)) + x^{4} \sin (x)}$

Этап 7.6.2

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{4} \sin (x)$ .

$(x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} (\cos (x)) + x^{4} (\sin (x))}$

Этап 7.6.3

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{4} (\cos (x)) + x^{4} (\sin (x))$ .

$(x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(- x^{4} \sin (x) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.8

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{4} \sin (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + x^{4} \cos (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $- x^{4} \sin (x)$ .

$x^{4} (- \sin (x)) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + x^{4} \cos (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.9.1.2

Сократим общий множитель.

Этап 7.9.1.3

Перепишем это выражение.

$- \sin (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{4} \cos (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.9.2

Объединим $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ и $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{4} \cos (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.9.3

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.3.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{4} \cos (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{4} (\cos (x)) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.9.3.2

Сократим общий множитель.

Этап 7.9.3.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.9.4

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.9.5

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.5.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $4 \cos (x) x^{3}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{3} (4 \cos (x)) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.9.5.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{3} (4 \cos (x)) \frac{1}{x^{3} (x (\cos (x) + \sin (x)))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.9.5.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{3} (4 \cos (x)) \frac{1}{x^{3} (x (\cos (x) + \sin (x)))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.9.5.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + 4 \cos (x) \frac{1}{x (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.9.6

Объединим $\frac{1}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ и $4$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4}{x (\cos (x) + \sin (x))} \cos (x) + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.9.7

Объединим $\frac{4}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ и $\cos (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.9.8

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.8.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $4 \sin (x) x^{3}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + x^{3} (4 \sin (x)) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.9.8.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + x^{3} (4 \sin (x)) \frac{1}{x^{3} (x (\cos (x) + \sin (x)))}$

Этап 7.9.8.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + x^{3} (4 \sin (x)) \frac{1}{x^{3} (x (\cos (x) + \sin (x)))}$

Этап 7.9.8.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) \frac{1}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.9.9

Объединим $\frac{1}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ и $4$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4}{x (\cos (x) + \sin (x))} \sin (x)$

Этап 7.9.10

Объединим $\frac{4}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ и $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.11

Чтобы записать $\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.12

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(\cos (x) + \sin (x)) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.12.1

Умножим $\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(- \sin (x) + \cos (x)) x}{(\cos (x) + \sin (x)) x} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.12.2

Изменим порядок множителей в $(\cos (x) + \sin (x)) x$ .

$\frac{(- \sin (x) + \cos (x)) x}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(- \sin (x) + \cos (x)) x + 4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.14

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \sin (x) x + \cos (x) x + 4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \sin (x) x + \cos (x) x + 4 \cos (x) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.16

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x) x$ .

$\frac{- (\sin (x) x) + \cos (x) x + 4 \cos (x) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.17

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos (x) x$ .

$\frac{- (\sin (x) x) - (- \cos (x) x) + 4 \cos (x) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.18

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin (x) x) - (- \cos (x) x)$ .

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x) + 4 \cos (x) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.19

Вынесем множитель $- 1$ из $4 \cos (x)$ .

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x) - (- 4 \cos (x)) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.20

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin (x) x - \cos (x) x) - (- 4 \cos (x))$ .

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x)) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.21

Вынесем множитель $- 1$ из $4 \sin (x)$ .

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x)) - (- 4 \sin (x))}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.22

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x)) - (- 4 \sin (x))$ .

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x))}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.23

Перепишем $- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x))$ в виде $- 1 (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x))$ .

$\frac{- 1 (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x))}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.24

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 7.25

Изменим порядок множителей в $- \frac{\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ .

$- \frac{x \sin (x) - x \cos (x) - 4 \cos (x) - 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$