Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (e^{3 x}) + x \ln (e^{2}) - 10 \ln (e)$

Этап 1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $2$ из степени.

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x}) + x (2 \ln (e)) - 10 \ln (e)]$

Этап 2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x}) + x (2 \cdot 1) - 10 \ln (e)]$

Этап 3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x}) + x \cdot 2 - 10 \ln (e)]$

Этап 4

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x}) + x \cdot 2 - 10 \cdot 1]$

Этап 5

По правилу суммы производная $\ln (e^{3 x}) + x \cdot 2 - 10 \cdot 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x})] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x})] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Этап 6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $3 x$ из степени.

$\frac{d}{d x} [3 x \ln (e)] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Этап 6.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x \cdot 1] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Этап 6.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Этап 6.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Этап 6.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Этап 6.6

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Этап 7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Этап 7.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Этап 7.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Этап 7.4

Умножим $2$ на $1$ .

$3 + 2 + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Этап 8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 10$ на $1$ .

$3 + 2 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Этап 8.2

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 + 2 + 0$

Этап 9

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $3$ и $2$ .

$5 + 0$

Этап 9.2

Добавим $5$ и $0$ .

$5$