Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (\sec^{4} (x) \cdot \tan^{2} (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec^{4} (x)$ и $g (x) = \tan^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\sec^{4} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\tan (x)$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\sec^{4} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\sec^{4} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\tan (x)$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\sec^{4} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

Этап 4

Перенесем $2$ влево от $\sec^{4} (x)$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \cdot \sec^{4} (x) \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

Этап 5

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{4} (x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

Этап 6

Умножим $\sec^{4} (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 (\sec^{2} (x) \sec^{4} (x)) \tan (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

Этап 6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 {\sec (x)}^{2 + 4} \tan (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

Этап 6.3

Добавим $2$ и $4$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

Этап 7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Этап 7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Этап 7.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Этап 8

Перенесем $4$ влево от $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \cdot \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 9

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Этап 10

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 (\tan^{1} (x) \tan^{2} (x)) \sec^{3} (x) \sec (x))$

Этап 11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 {\tan (x)}^{1 + 2} \sec^{3} (x) \sec (x))$

Этап 12

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \tan^{3} (x) \sec^{3} (x) \sec (x))$

Этап 13

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \tan^{3} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)))$

Этап 14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \tan^{3} (x) {\sec (x)}^{1 + 3})$

Этап 15

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x)) + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Этап 16.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ .

$\frac{2}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\sec^{6} (x) \tan (x)) + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Этап 16.2.2

Объединим $\sec^{6} (x)$ и $\frac{2}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ .

$\frac{\sec^{6} (x) \cdot 2}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} \tan (x) + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Этап 16.2.3

Объединим $\frac{\sec^{6} (x) \cdot 2}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ и $\tan (x)$ .

$\frac{\sec^{6} (x) \cdot 2 \tan (x)}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Этап 16.2.4

Перенесем $2$ влево от $\sec^{6} (x)$ .

$\frac{2 \cdot \sec^{6} (x) \tan (x)}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Этап 16.2.5

Сократим общий множитель $\sec^{6} (x)$ и $\sec^{4} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.5.1

Вынесем множитель $\sec^{4} (x)$ из $2 \sec^{6} (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec^{4} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Этап 16.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.5.2.1

Вынесем множитель $\sec^{4} (x)$ из $\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{4} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))}{\sec^{4} (x) (\tan^{2} (x))} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Этап 16.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sec^{4} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Этап 16.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Этап 16.2.6

Сократим общий множитель $\tan (x)$ и $\tan^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.6.1

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) (2 \sec^{2} (x))}{\tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Этап 16.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.6.2.1

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{\tan (x) (2 \sec^{2} (x))}{\tan (x) \tan (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Этап 16.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\tan (x) (2 \sec^{2} (x))}{\tan (x) \tan (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Этап 16.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Этап 16.2.7

Объединим $4$ и $\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ .

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{4}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Этап 16.2.8

Объединим $\tan^{3} (x)$ и $\frac{4}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ .

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{\tan^{3} (x) \cdot 4}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} \sec^{4} (x)$

Этап 16.2.9

Объединим $\frac{\tan^{3} (x) \cdot 4}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ и $\sec^{4} (x)$ .

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{\tan^{3} (x) \cdot 4 \sec^{4} (x)}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$

Этап 16.2.10

Перенесем $4$ влево от $\tan^{3} (x)$ .

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{4 \cdot \tan^{3} (x) \sec^{4} (x)}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$

Этап 16.2.11

Сократим общий множитель $\tan^{3} (x)$ и $\tan^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.11.1

Вынесем множитель $\tan^{2} (x)$ из $4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x)$ .

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{\tan^{2} (x) (4 \tan (x) \sec^{4} (x))}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$

Этап 16.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.11.2.1

Вынесем множитель $\tan^{2} (x)$ из $\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ .

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{\tan^{2} (x) (4 \tan (x) \sec^{4} (x))}{\tan^{2} (x) \sec^{4} (x)}$

Этап 16.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{\tan^{2} (x) (4 \tan (x) \sec^{4} (x))}{\tan^{2} (x) \sec^{4} (x)}$

Этап 16.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{4 \tan (x) \sec^{4} (x)}{\sec^{4} (x)}$

Этап 16.2.12

Сократим общий множитель $\sec^{4} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.12.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{4 \tan (x) \sec^{4} (x)}{\sec^{4} (x)}$

Этап 16.2.12.2

Разделим $4 \tan (x)$ на $1$ .

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + 4 \tan (x)$