Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (\frac{e}{x^{n}})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{e}{x^{n}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{e}{x^{n}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{e}{x^{n}}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{e}{x^{n}}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{e}{x^{n}}$ .

$\frac{1}{\frac{e}{x^{n}}} \frac{d}{d x} [\frac{e}{x^{n}}]$

Этап 2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{e}{x^{n}}$ .

$1 \frac{x^{n}}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{x^{n}}]$

Этап 3

Умножим $\frac{x^{n}}{e}$ на $1$ .

$\frac{x^{n}}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{x^{n}}]$

Этап 4

Поскольку $e$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{e}{x^{n}}$ по $x$ равна $e \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{n}}]$ .

$\frac{x^{n}}{e} (e \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{n}}])$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $e$ и $\frac{x^{n}}{e}$ .

$\frac{e x^{n}}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{n}}]$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e x^{n}}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{n}}]$

Этап 5.2.2

Разделим $x^{n}$ на $1$ .

$x^{n} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{n}}]$

Этап 5.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $\frac{1}{x^{n}}$ в виде ${(x^{n})}^{- 1}$ .

$x^{n} \frac{d}{d x} [{(x^{n})}^{- 1}]$

Этап 5.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{n})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{n} \frac{d}{d x} [x^{n \cdot - 1}]$

Этап 5.3.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $n$ .

$x^{n} \frac{d}{d x} [x^{- 1 \cdot n}]$

Этап 5.3.2.3

Перепишем $- 1 n$ в виде $- n$ .

$x^{n} \frac{d}{d x} [x^{- n}]$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - n$ .

$x^{n} (- n x^{- n - 1})$

Этап 7

Умножим $x^{n}$ на $x^{- n - 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем $x^{- n - 1}$ .

$x^{- n - 1} x^{n} (- n)$

Этап 7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{- n - 1 + n} (- n)$

Этап 7.3

Объединим противоположные члены в $- n - 1 + n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Добавим $- n$ и $n$ .

$x^{0 - 1} (- n)$

Этап 7.3.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$x^{- 1} (- n)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x} (- n)$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{x}$ и $n$ .

$- \frac{n}{x}$