Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (\frac{5 x}{25})$

Этап 1

Сократим общий множитель $5$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 (x)}{25})]$

Этап 1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 x}{5 \cdot 5})]$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 x}{5 \cdot 5})]$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{5})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{x}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$\frac{1}{\frac{5 (x)}{25}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Этап 2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\frac{1}{\frac{5 x}{5 \cdot 5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{5 x}{5 \cdot 5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Этап 2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{x}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Этап 3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x}{5}$ .

$1 \frac{5}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Этап 4

Умножим $\frac{5}{x}$ на $1$ .

$\frac{5}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{5}$ по $x$ равна $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{x} (\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{5}{x}$ .

$\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Этап 8

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\frac{1}{x}$