Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (| x^{2} - x |)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = | x^{2} - x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $| x^{2} - x |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| x^{2} - x |]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| x^{2} - x |]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $| x^{2} - x |$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [| x^{2} - x |]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2} - x$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [x^{2} - x])$

Этап 2.2

Производная $| u_{2} |$ по $u_{2}$ равна $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} - x$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x])$

Этап 3

Умножим $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ на $\frac{1}{| x^{2} - x |}$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x | | x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Этап 4

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\frac{x^{2} - x}{| (x^{2} - x) (x^{2} - x) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Этап 5

Возведем $x^{2} - x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{1} (x^{2} - x) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Этап 6

Возведем $x^{2} - x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{1} {(x^{2} - x)}^{1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Этап 8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Этап 9

По правилу суммы производная $x^{2} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

Этап 12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - 1 \cdot 1)$

Этап 13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - 1)$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Изменим порядок множителей в $\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Этап 14.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{x \cdot x - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Этап 14.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Этап 14.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Этап 14.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x \cdot x - x)}^{2} |}$

Этап 14.3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x \cdot x + x \cdot - 1)}^{2} |}$

Этап 14.3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x (x - 1))}^{2} |}$

Этап 14.3.2

Применим правило умножения к $x (x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} {(x - 1)}^{2} |}$

Этап 14.3.3

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} ((x - 1) (x - 1)) |}$

Этап 14.3.4

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) |}$

Этап 14.3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) |}$

Этап 14.3.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Этап 14.3.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.5.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Этап 14.3.5.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Этап 14.3.5.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Этап 14.3.5.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) |}$

Этап 14.3.5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - x - x + 1) |}$

Этап 14.3.5.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) |}$

Этап 14.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Этап 14.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.7.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.7.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2 + 2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Этап 14.3.7.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Этап 14.3.7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 |}$

Этап 14.3.7.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} |}$

Этап 14.3.8

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.8.1

Перенесем $x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} |}$

Этап 14.3.8.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} |}$

Этап 14.3.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{1 + 2} + x^{2} |}$

Этап 14.3.8.3

Добавим $1$ и $2$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} |}$

Этап 14.3.9

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.9.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} - 2 x^{3} + x^{2} |}$

Этап 14.3.9.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 2 x^{3}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} |}$

Этап 14.3.9.3

Умножим на $1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Этап 14.3.9.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x)$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Этап 14.3.9.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) |}$

Этап 14.3.10

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.10.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x + 1^{2}) |}$

Этап 14.3.10.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 14.3.10.3

Перепишем многочлен.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) |}$

Этап 14.3.10.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} {(x - 1)}^{2} |}$

Этап 14.4

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 14.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{x (x {(x - 1)}^{2})}$

Этап 14.5.2

Сократим общий множитель.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{x (x {(x - 1)}^{2})}$

Этап 14.5.3

Перепишем это выражение.

$(2 x - 1) \frac{x - 1}{x {(x - 1)}^{2}}$

Этап 14.6

Сократим общий множитель $x - 1$ и ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.1

Умножим на $1$ .

$(2 x - 1) \frac{(x - 1) \cdot 1}{x {(x - 1)}^{2}}$

Этап 14.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.2.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $x {(x - 1)}^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{(x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (x (x - 1))}$

Этап 14.6.2.2

Сократим общий множитель.

$(2 x - 1) \frac{(x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (x (x - 1))}$

Этап 14.6.2.3

Перепишем это выражение.

$(2 x - 1) \frac{1}{x (x - 1)}$

Этап 14.7

Умножим $2 x - 1$ на $\frac{1}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 x - 1}{x (x - 1)}$