Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (\frac{x^{2}}{4 x - 3})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{x^{2}}{4 x - 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x^{2}}{4 x - 3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x^{2}}{4 x - 3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{4 x - 3}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Этап 2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x^{2}}{4 x - 3}$ .

$1 \frac{4 x - 3}{x^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Этап 3

Умножим $\frac{4 x - 3}{x^{2}}$ на $1$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 4 x - 3$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{(4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{(4 x - 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 5.2

Перенесем $2$ влево от $4 x - 3$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 \cdot (4 x - 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 5.3

По правилу суммы производная $4 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 5.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 5.6

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 5.7

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 + 0)}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 5.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} \cdot 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 5.8.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - 4 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 5.8.3

Умножим $\frac{4 x - 3}{x^{2}}$ на $\frac{2 (4 x - 3) x - 4 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{(4 x - 3) (2 (4 x - 3) x - 4 x^{2})}{x^{2} {(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $4 x - 3$ из $x^{2} {(4 x - 3)}^{2}$ .

$\frac{(4 x - 3) (2 (4 x - 3) x - 4 x^{2})}{(4 x - 3) (x^{2} (4 x - 3))}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(4 x - 3) (2 (4 x - 3) x - 4 x^{2})}{(4 x - 3) (x^{2} (4 x - 3))}$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (4 x - 3) x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x - 3)}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 (4 x) + 2 \cdot - 3) x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x - 3)}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (4 x) x + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x - 3)}$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (4 x) x + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Этап 7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (4 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Этап 7.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 (4 x^{2}) + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Этап 7.4.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Этап 7.4.1.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} - 6 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Этап 7.4.2

Вычтем $4 x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Этап 7.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x \cdot x^{2} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

Этап 7.5.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{1} x^{2} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

Этап 7.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{1 + 2} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

Этап 7.5.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{3} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

Этап 7.5.2

Перенесем $4$ влево от $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{4 \cdot x^{3} + x^{2} \cdot - 3}$

Этап 7.5.3

Перенесем $- 3$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Этап 7.6

Вынесем множитель $2 x$ из $4 x^{2} - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Вынесем множитель $2 x$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x (2 x) - 6 x}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Этап 7.6.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 6 x$ .

$\frac{2 x (2 x) + 2 x (- 3)}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Этап 7.6.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (2 x) + 2 x (- 3)$ .

$\frac{2 x (2 x - 3)}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Этап 7.7

Вынесем множитель $x^{2}$ из $4 x^{3} - 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{2 x (2 x - 3)}{x^{2} (4 x) - 3 x^{2}}$

Этап 7.7.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 3 x^{2}$ .

$\frac{2 x (2 x - 3)}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Этап 7.7.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3$ .

$\frac{2 x (2 x - 3)}{x^{2} (4 x - 3)}$

Этап 7.8

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x (2 x - 3)$ .

$\frac{x (2 (2 x - 3))}{x^{2} (4 x - 3)}$

Этап 7.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (4 x - 3)$ .

$\frac{x (2 (2 x - 3))}{x (x (4 x - 3))}$

Этап 7.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (2 (2 x - 3))}{x (x (4 x - 3))}$

Этап 7.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (2 x - 3)}{x (4 x - 3)}$