Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (\frac{\sqrt{x + 5}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 5}$ в виде ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$ .

$\frac{1}{\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}} \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}]$

Этап 3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$ .

$1 \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}]$

Этап 4

Умножим $\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}] - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4})}^{2}}$

Этап 6

Перемножим экспоненты в ${({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Этап 6.2

Умножим $4$ на $2$ .

Этап 7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + 5$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 5$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 12.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 12.3

Перенесем ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 12.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и ${(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 5] - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 13

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 15

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 16

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 16.2

Умножим $\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 17

Умножим $\frac{\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$ на $\frac{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}})$

Этап 18

Объединим.

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}])}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 19

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (- {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}])}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 20

Сократим общий множитель $2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Сократим общий множитель.

Этап 20.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} + 2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (- {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}])}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 21

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}])}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 22

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 23

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 2 {(x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 23.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 2 {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 24

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Сократим общий множитель.

Этап 24.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 2 {(x + 5)}^{1} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 25

Упростим.

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 2 (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 26

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $2 x^{2} - 4 x + 1$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 2 (x + 5) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 4 x + 1])}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 26.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 2 (x + 5) (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 4 x + 1])}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 26.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $2 x^{2} - 4 x + 1$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 2 (x + 5) (4 {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 4 x + 1])}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 27

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 4 x + 1])}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 27.2

По правилу суммы производная $2 x^{2} - 4 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]))}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 27.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]))}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 27.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]))}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 27.5

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]))}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 27.6

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 27.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 27.8

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4 + \frac{d}{d x} [1]))}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 27.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4 + 0))}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 27.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.10.1

Добавим $4 x - 4$ и $0$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4))}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 27.10.2

Умножим $\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4))}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)))}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8})}$

Этап 28

Умножим ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.1

Перенесем ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)))}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8})}$

Этап 28.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)))}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (2 {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8})}$

Этап 28.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)))}{{(x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} (2 {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8})}$

Этап 28.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)))}{{(x + 5)}^{\frac{2}{2}} (2 {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8})}$

Этап 28.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)))}{{(x + 5)}^{1} (2 {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8})}$

Этап 29

Упростим ${(x + 5)}^{1} (2 {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8})$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)))}{(x + 5) (2 {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8})}$

Этап 30

Перенесем $2$ влево от $x + 5$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)))}{2 \cdot (x + 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

Этап 31

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 31.1

Вынесем множитель ${(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}$ из $2 (x + 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)))}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (2 (x + 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4})}$

Этап 31.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)))}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (2 (x + 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4})}$

Этап 31.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4))}{2 (x + 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Этап 32

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} + (- 8 x - 8 \cdot 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4))}{2 (x + 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Этап 32.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} + (- 8 x - 8 \cdot 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4))}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Этап 32.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.3.1

Вынесем множитель ${(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3}$ из ${(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} + (- 8 x - 8 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.3.1.1

Вынесем множитель ${(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3}$ из ${(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1) + (- 8 x - 8 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Этап 32.3.1.2

Вынесем множитель ${(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3}$ из $(- 8 x - 8 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1) + {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} ((- 8 x - 8 \cdot 5) (4 x - 4))}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Этап 32.3.1.3

Вынесем множитель ${(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3}$ из ${(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1) + {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} ((- 8 x - 8 \cdot 5) (4 x - 4))$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 + (- 8 x - 8 \cdot 5) (4 x - 4))}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Этап 32.3.2

Умножим $- 8$ на $5$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 + (- 8 x - 40) (4 x - 4))}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Этап 32.3.3

Развернем $(- 8 x - 40) (4 x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 - 8 x (4 x - 4) - 40 (4 x - 4))}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Этап 32.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 - 40 (4 x - 4))}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Этап 32.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 - 40 (4 x) - 40 \cdot - 4)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Этап 32.3.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.3.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 - 8 \cdot 4 x \cdot x - 8 x \cdot - 4 - 40 (4 x) - 40 \cdot - 4)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Этап 32.3.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.3.4.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 - 8 \cdot 4 (x \cdot x) - 8 x \cdot - 4 - 40 (4 x) - 40 \cdot - 4)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Этап 32.3.4.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 - 8 \cdot 4 x^{2} - 8 x \cdot - 4 - 40 (4 x) - 40 \cdot - 4)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Этап 32.3.4.1.3

Умножим $- 8$ на $4$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 4 - 40 (4 x) - 40 \cdot - 4)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Этап 32.3.4.1.4

Умножим $- 4$ на $- 8$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 - 32 x^{2} + 32 x - 40 (4 x) - 40 \cdot - 4)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Этап 32.3.4.1.5

Умножим $4$ на $- 40$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 - 32 x^{2} + 32 x - 160 x - 40 \cdot - 4)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Этап 32.3.4.1.6

Умножим $- 40$ на $- 4$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 - 32 x^{2} + 32 x - 160 x + 160)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Этап 32.3.4.2

Вычтем $160 x$ из $32 x$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 - 32 x^{2} - 128 x + 160)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Этап 32.3.5

Вычтем $32 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (- 30 x^{2} - 4 x + 1 - 128 x + 160)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Этап 32.3.6

Вычтем $128 x$ из $- 4 x$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (- 30 x^{2} - 132 x + 1 + 160)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Этап 32.3.7

Добавим $1$ и $160$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (- 30 x^{2} - 132 x + 161)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Этап 32.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.4.1

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (- 30 x^{2} - 132 x + 161)}{(2 x + 10) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Этап 32.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.4.2.1

Вынесем множитель ${(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3}$ из $(2 x + 10) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}$ .

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (- 30 x^{2} - 132 x + 161)}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} ((2 x + 10) (2 x^{2} - 4 x + 1))}$

Этап 32.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (- 30 x^{2} - 132 x + 161)}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} ((2 x + 10) (2 x^{2} - 4 x + 1))}$

Этап 32.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 30 x^{2} - 132 x + 161}{(2 x + 10) (2 x^{2} - 4 x + 1)}$

Этап 32.5

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{- 30 x^{2} - 132 x + 161}{(2 (x) + 10) (2 x^{2} - 4 x + 1)}$

Этап 32.5.2

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{- 30 x^{2} - 132 x + 161}{(2 x + 2 \cdot 5) (2 x^{2} - 4 x + 1)}$

Этап 32.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 5$ .

$\frac{- 30 x^{2} - 132 x + 161}{2 (x + 5) (2 x^{2} - 4 x + 1)}$

Этап 32.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 30 x^{2}$ .

$\frac{- (30 x^{2}) - 132 x + 161}{2 (x + 5) (2 x^{2} - 4 x + 1)}$

Этап 32.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 132 x$ .

$\frac{- (30 x^{2}) - (132 x) + 161}{2 (x + 5) (2 x^{2} - 4 x + 1)}$

Этап 32.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (30 x^{2}) - (132 x)$ .

$\frac{- (30 x^{2} + 132 x) + 161}{2 (x + 5) (2 x^{2} - 4 x + 1)}$

Этап 32.9

Перепишем $161$ в виде $- 1 (- 161)$ .

$\frac{- (30 x^{2} + 132 x) - 1 (- 161)}{2 (x + 5) (2 x^{2} - 4 x + 1)}$

Этап 32.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (30 x^{2} + 132 x) - 1 (- 161)$ .

$\frac{- (30 x^{2} + 132 x - 161)}{2 (x + 5) (2 x^{2} - 4 x + 1)}$

Этап 32.11

Перепишем $- (30 x^{2} + 132 x - 161)$ в виде $- 1 (30 x^{2} + 132 x - 161)$ .

$\frac{- 1 (30 x^{2} + 132 x - 161)}{2 (x + 5) (2 x^{2} - 4 x + 1)}$

Этап 32.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{30 x^{2} + 132 x - 161}{2 (x + 5) (2 x^{2} - 4 x + 1)}$