Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (\sqrt{(6 x - 2) (7 x + 4)})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(6 x - 2) (7 x + 4)}$ в виде ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = (6 x - 2) (7 x + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $(6 x - 2) (7 x + 4)$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $(6 x - 2) (7 x + 4)$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Этап 10

Перенесем ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Этап 11

Умножим $\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Этап 12

Умножим ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ на ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Этап 12.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Этап 12.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Этап 12.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Этап 12.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{1}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Этап 13

Упростим $2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{1}$ .

$\frac{1}{2 ((6 x - 2) (7 x + 4))} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Этап 14

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 6 x - 2$ и $g (x) = 7 x + 4$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 4] + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Этап 15

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

По правилу суммы производная $7 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Этап 15.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Этап 15.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Этап 15.4

Умножим $7$ на $1$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Этап 15.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 + 0) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Этап 15.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.6.1

Добавим $7$ и $0$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) \cdot 7 + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Этап 15.6.2

Перенесем $7$ влево от $6 x - 2$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 \cdot (6 x - 2) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Этап 15.7

По правилу суммы производная $6 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Этап 15.8

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Этап 15.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Этап 15.10

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Этап 15.11

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 + 0))$

Этап 15.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.12.1

Добавим $6$ и $0$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) \cdot 6)$

Этап 15.12.2

Перенесем $6$ влево от $7 x + 4$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + 6 \cdot (7 x + 4))$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + 6 (7 x + 4))$

Этап 16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x + 4))$

Этап 16.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Этап 16.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{1}{(12 x + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Этап 16.4.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Этап 16.4.3

Умножим $6$ на $7$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Этап 16.4.4

Умножим $7$ на $- 2$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Этап 16.4.5

Умножим $7$ на $6$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 42 x + 6 \cdot 4)$

Этап 16.4.6

Умножим $6$ на $4$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 42 x + 24)$

Этап 16.4.7

Добавим $42 x$ и $42 x$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x - 14 + 24)$

Этап 16.4.8

Добавим $- 14$ и $24$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x + 10)$

Этап 16.5

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x + 10)$ .

$(84 x + 10) \frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)}$

Этап 16.6

Вынесем множитель $4$ из $12 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.6.1

Вынесем множитель $4$ из $12 x$ .

$(84 x + 10) \frac{1}{(4 (3 x) - 4) (7 x + 4)}$

Этап 16.6.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$(84 x + 10) \frac{1}{(4 (3 x) + 4 (- 1)) (7 x + 4)}$

Этап 16.6.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (3 x) + 4 (- 1)$ .

$(84 x + 10) \frac{1}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Этап 16.7

Умножим $84 x + 10$ на $\frac{1}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$ .

$\frac{84 x + 10}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Этап 16.8

Сократим общий множитель $84 x + 10$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.8.1

Вынесем множитель $2$ из $84 x$ .

$\frac{2 (42 x) + 10}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Этап 16.8.2

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{2 (42 x) + 2 (5)}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Этап 16.8.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (42 x) + 2 (5)$ .

$\frac{2 (42 x + 5)}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Этап 16.8.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.8.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 (3 x - 1) (7 x + 4)$ .

$\frac{2 (42 x + 5)}{2 (2 (3 x - 1) (7 x + 4))}$

Этап 16.8.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (42 x + 5)}{2 (2 (3 x - 1) (7 x + 4))}$

Этап 16.8.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{42 x + 5}{2 (3 x - 1) (7 x + 4)}$