Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (\frac{x}{19}) + \ln (19)$

Этап 1

По правилу суммы производная $\ln (\frac{x}{19}) + \ln (19)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{19})] + \frac{d}{d x} [\ln (19)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{19})] + \frac{d}{d x} [\ln (19)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{19})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{x}{19}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{19}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{19}] + \frac{d}{d x} [\ln (19)]$

Этап 2.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{19}] + \frac{d}{d x} [\ln (19)]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{19}$ .

$\frac{1}{\frac{x}{19}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{19}] + \frac{d}{d x} [\ln (19)]$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{1}{19}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{19}$ по $x$ равна $\frac{1}{19} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\frac{x}{19}} (\frac{1}{19} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (19)]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{\frac{x}{19}} (\frac{1}{19} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (19)]$

Этап 2.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x}{19}$ .

$1 \frac{19}{x} (\frac{1}{19} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (19)]$

Этап 2.5

Умножим $\frac{19}{x}$ на $1$ .

$\frac{19}{x} (\frac{1}{19} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (19)]$

Этап 2.6

Умножим $\frac{1}{19}$ на $1$ .

$\frac{19}{x} \cdot \frac{1}{19} + \frac{d}{d x} [\ln (19)]$

Этап 2.7

Умножим $\frac{19}{x}$ на $\frac{1}{19}$ .

$\frac{19}{x \cdot 19} + \frac{d}{d x} [\ln (19)]$

Этап 2.8

Перенесем $19$ влево от $x$ .

$\frac{19}{19 \cdot x} + \frac{d}{d x} [\ln (19)]$

Этап 2.9

Сократим общий множитель $19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{19}{19 x} + \frac{d}{d x} [\ln (19)]$

Этап 2.9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (19)]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\ln (19)$ является константой относительно $x$ , производная $\ln (19)$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x} + 0$

Этап 3.2

Добавим $\frac{1}{x}$ и $0$ .

$\frac{1}{x}$