Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (x^{2} \cdot (3 x) + 7)$

Этап 1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x \cdot x^{2} \cdot 3 + 7)]$

Этап 1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{1} x^{2} \cdot 3 + 7)]$

Этап 1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{1 + 2} \cdot 3 + 7)]$

Этап 1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{3} \cdot 3 + 7)]$

Этап 2

Перенесем $3$ влево от $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (3 \cdot x^{3} + 7)]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 3 x^{3} + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{3} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]$

Этап 3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $3 x^{3} + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 4.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 4.4

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 4.5

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (9 x^{2} + 0)$

Этап 4.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Добавим $9 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (9 x^{2})$

Этап 4.6.2

Объединим $9$ и $\frac{1}{3 x^{3} + 7}$ .

$\frac{9}{3 x^{3} + 7} x^{2}$

Этап 4.6.3

Объединим $\frac{9}{3 x^{3} + 7}$ и $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2}}{3 x^{3} + 7}$