Математический анализ Примеры

$f (x) = \cos (\sqrt{\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}}$ в виде ${(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\cos ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 - \cos (2 x)$ и $g (x) = 1 + \cos (2 x)$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)] - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 10

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

По правилу суммы производная $1 - \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 10.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 10.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 10.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (2 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 11

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $2 x$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (- (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 11.2

Производная $\cos (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $- \sin (u_{3})$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (- (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 11.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $2 x$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (- (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 12

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (1 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 12.2

Умножим $\sin (2 x)$ на $1$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 12.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) (2 \cdot 1) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 12.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Умножим $2$ на $1$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) \cdot 2 - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 12.5.2

Перенесем $2$ влево от $(1 + \cos (2 x)) \sin (2 x)$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot ((1 + \cos (2 x)) \sin (2 x)) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 12.6

По правилу суммы производная $1 + \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 12.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 12.8

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 13

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{4}$ как $2 x$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) (\frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 13.2

Производная $\cos (u_{4})$ по $u_{4}$ равна $- \sin (u_{4})$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) (- \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 13.3

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $2 x$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 14

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 1 (1 - \cos (2 x)) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 14.2

Умножим $1 - \cos (2 x)$ на $1$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + (1 - \cos (2 x)) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 14.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 14.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

Этап 14.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Умножим $2$ на $1$ .

Этап 14.5.2

Перенесем $2$ влево от $(1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 \cdot ((1 - \cos (2 x)) \sin (2 x))}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 14.5.3

Умножим $\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$ на $\frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2}$ .

$- \frac{(2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + \cos (2 x))}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 14.5.4

Перенесем $2$ влево от ${(1 + \cos (2 x))}^{2}$ .

$- \frac{(2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot {(1 + \cos (2 x))}^{2}} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$- \frac{(2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} {(\frac{1 + \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 15.2

Применим правило умножения к $\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ .

$- \frac{(2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} {(\frac{1 + \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 15.3

Применим правило умножения к $\frac{1 + \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$ .

$- \frac{(2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{((2 \cdot 1 + 2 \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{(2 \cdot 1 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.6

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{(2 \cdot 1 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + (2 \cdot 1 + 2 (- \cos (2 x))) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.7

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{(2 \cdot 1 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 \cdot 1 \sin (2 x) + 2 (- \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.8

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.8.1

Умножим $2$ на $1$ .

$- \frac{(2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 \cdot 1 \sin (2 x) + 2 (- \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$- \frac{(2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 2 (- \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.8.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{(2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.8.4

Добавим $2 \sin (2 x)$ и $2 \sin (2 x)$ .

$- \frac{(2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 4 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.8.5

Вычтем $2 \cos (2 x) \sin (2 x)$ из $2 \cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$- \frac{(0 + 4 \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.8.6

Добавим $0$ и $4 \sin (2 x)$ .

$- \frac{4 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.8.7

Вынесем множитель $2$ из $4 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})$ .

$- \frac{2 (2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}))}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.8.8

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.8.8.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}$ .

$- \frac{2 (2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}))}{2 ({(1 + \cos (2 x))}^{2})} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.8.8.2

Сократим общий множитель.

Этап 15.8.8.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.8.9

Умножим $\frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$ .

$- \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} (2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}))}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 15.8.10

Перенесем $2$ влево от ${(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot {(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 15.8.11

Перенесем ${(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{2} {(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 15.8.12

Умножим ${(1 + \cos (2 x))}^{2}$ на ${(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.8.12.1

Перенесем ${(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} ({(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{2})}$

Этап 15.8.12.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Этап 15.8.12.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Этап 15.8.12.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Этап 15.8.12.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Этап 15.8.12.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.8.12.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Этап 15.8.12.6.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{\frac{3}{2}}}$