Математический анализ Примеры

$f (x) = \cos (3 x) \cdot \cos (3 x)$

Этап 1

Возведем $\cos (3 x)$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\cos^{1} (3 x) \cdot \cos (3 x)]$

Этап 2

Возведем $\cos (3 x)$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\cos^{1} (3 x) \cdot \cos^{1} (3 x)]$

Этап 3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [{\cos (3 x)}^{1 + 1}]$

Этап 4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (3 x)]$

Этап 5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (3 x)$ .

$2 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Этап 6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$2 \cos (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 6.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (3 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$2 \cos (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \cos (3 x) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 7.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \cos (3 x) \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- 6 \cos (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 \cos (3 x) \sin (3 x) \cdot 1$

Этап 7.5

Умножим $- 6$ на $1$ .

$- 6 \cos (3 x) \sin (3 x)$