Математический анализ Примеры

$f (x) = \cos (4 x) \sin^{4} (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (4 x)$ и $g (x) = \sin^{4} (x)$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)] + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (x)$ .

$\cos (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\cos (4 x) (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (x)$ .

$\cos (4 x) (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Этап 3

Перенесем $4$ влево от $\cos (4 x)$ .

$4 \cdot \cos (4 x) \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Этап 4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $4 x$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 5.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $4 x$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 6.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- 4 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- 4 \sin (4 x) \cdot 1)$

Этап 6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- 4 \sin (4 x))$

Этап 6.4.2

Изменим порядок членов.

$4 \sin^{3} (x) \cos (x) \cos (4 x) - 4 \sin^{4} (x) \sin (4 x)$