Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{\cos (x) (\sin^{4} (x))}{4 \cos (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x) \sin^{4} (x)}{4 \cos (x)}]$

Этап 1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin^{4} (x)}{4}]$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{\sin^{4} (x)}{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\frac{1}{4} (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} (\sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.2

Объединим $\sin^{3} (x)$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sin^{3} (x) \cdot 4}{4} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.3

Перенесем $4$ влево от $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{4 \cdot \sin^{3} (x)}{4} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sin^{3} (x)}{4} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.4.2

Разделим $\sin^{3} (x)$ на $1$ .

$\sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\sin^{3} (x) \cos (x)$