Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

Этап 2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ .

$1 \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

Этап 3

Умножим $\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ на $1$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{x} + 1$ и $g (x) = e^{x} - 1$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1] - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Этап 5

По правилу суммы производная $e^{x} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Этап 7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) (e^{x} + 0) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Этап 7.2

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Этап 7.3

По правилу суммы производная $e^{x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Этап 8

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (e^{x} + 0)}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Этап 9.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Этап 9.2.2

Умножим $\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ на $\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(e^{x} - 1) ((e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x})}{(e^{x} + 1) {(e^{x} - 1)}^{2}}$

Этап 10

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $e^{x} - 1$ из $(e^{x} + 1) {(e^{x} - 1)}^{2}$ .

$\frac{(e^{x} - 1) ((e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x})}{(e^{x} - 1) ((e^{x} + 1) (e^{x} - 1))}$

Этап 10.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(e^{x} - 1) ((e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x})}{(e^{x} - 1) ((e^{x} + 1) (e^{x} - 1))}$

Этап 10.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Этап 11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} + (- e^{x} - 1 \cdot 1) e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Этап 11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Этап 11.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Объединим противоположные члены в $e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1.1

Вычтем $e^{x} e^{x}$ из $e^{x} e^{x}$ .

$\frac{0 - 1 e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Этап 11.4.1.2

Вычтем $1 e^{x}$ из $0$ .

$\frac{- 1 e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Этап 11.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1

Перепишем $- 1 e^{x}$ в виде $- e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Этап 11.4.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- e^{x} - 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Этап 11.4.2.3

Перепишем $- 1 e^{x}$ в виде $- e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} - e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Этап 11.4.3

Вычтем $e^{x}$ из $- e^{x}$ .

$\frac{- 2 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Этап 11.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$