Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}] + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2 {(x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8.3

Перенесем ${(x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8.4

Объединим $\frac{2}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ и $x$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2] + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9

По правилу суммы производная $x^{2} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 11

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} (2 x) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 12.2

Объединим $2$ и $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 (2 x)}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} x + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 12.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} x + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 12.4

Объединим $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ и $x$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 13

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 (x^{1} x)}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 14

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 (x^{1} x^{1})}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 16

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{2}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{2}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1)$

Этап 18

Умножим ${(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{2}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}})$

Этап 19

Чтобы записать ${(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{2}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}})$

Этап 20

Объединим ${(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ и $\frac{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{2}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}})$

Этап 21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 22

Умножим ${(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ на ${(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Перенесем ${(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 22.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 22.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{1 + 2}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 22.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 22.5

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{1} \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 23

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Упростим ${(x^{2} - 2)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + (x^{2} - 2) \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 23.2

Перенесем $3$ влево от $x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + 3 \cdot (x^{2} - 2)}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 24

Умножим $\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ на $\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}})}$

Этап 25

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}})}$

Этап 26

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}})}$

Этап 26.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{3}{3}})}$

Этап 27

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{3}{3}})}$

Этап 27.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 {(x^{2} - 2)}^{1})}$

Этап 28

Упростим.

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 (x^{2} - 2))}$

Этап 29

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot - 2}{x (3 (x^{2} - 2))}$

Этап 29.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot - 2}{x (3 x^{2} + 3 \cdot - 2)}$

Этап 29.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot - 2}{x (3 x^{2}) + x (3 \cdot - 2)}$

Этап 29.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.4.1

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} + 3 x^{2} - 6}{x (3 x^{2}) + x (3 \cdot - 2)}$

Этап 29.4.2

Добавим $4 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{x (3 x^{2}) + x (3 \cdot - 2)}$

Этап 29.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.5.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 (x^{1} x^{2}) + x (3 \cdot - 2)}$

Этап 29.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x^{1 + 2} + x (3 \cdot - 2)}$

Этап 29.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x^{3} + x (3 \cdot - 2)}$

Этап 29.5.4

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x^{3} + x \cdot - 6}$

Этап 29.5.5

Перенесем $- 6$ влево от $x$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x^{3} - 6 x}$

Этап 29.6

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{3} - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.6.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{3}$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x (x^{2}) - 6 x}$

Этап 29.6.2

Вынесем множитель $3 x$ из $- 6 x$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x (x^{2}) + 3 x (- 2)}$

Этап 29.6.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (x^{2}) + 3 x (- 2)$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x (x^{2} - 2)}$