Математический анализ Примеры

$f (x) = 9 \cos (9 x) (10 \cos (10 x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $10$ на $9$ .

$\frac{d}{d x} [90 \cos (9 x) \cos (10 x)]$

Этап 1.2

Поскольку $90$ является константой относительно $x$ , производная $90 \cos (9 x) \cos (10 x)$ по $x$ равна $90 \frac{d}{d x} [\cos (9 x) \cos (10 x)]$ .

$90 \frac{d}{d x} [\cos (9 x) \cos (10 x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (9 x)$ и $g (x) = \cos (10 x)$ .

$90 (\cos (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (10 x)] + \cos (10 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 10 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $10 x$ .

$90 (\cos (9 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [10 x]) + \cos (10 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)])$

Этап 3.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$90 (\cos (9 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [10 x]) + \cos (10 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $10 x$ .

$90 (\cos (9 x) (- \sin (10 x) \frac{d}{d x} [10 x]) + \cos (10 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$90 (\cos (9 x) (- \sin (10 x) (10 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (10 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)])$

Этап 4.2

Умножим $10$ на $- 1$ .

$90 (\cos (9 x) (- 10 \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (10 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)])$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$90 (\cos (9 x) (- 10 \sin (10 x) \cdot 1) + \cos (10 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)])$

Этап 4.4

Умножим $- 10$ на $1$ .

$90 (\cos (9 x) (- 10 \sin (10 x)) + \cos (10 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)])$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $9 x$ .

$90 (\cos (9 x) (- 10 \sin (10 x)) + \cos (10 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x]))$

Этап 5.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$90 (\cos (9 x) (- 10 \sin (10 x)) + \cos (10 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $9 x$ .

$90 (\cos (9 x) (- 10 \sin (10 x)) + \cos (10 x) (- \sin (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$90 (\cos (9 x) (- 10 \sin (10 x)) + \cos (10 x) (- \sin (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])))$

Этап 6.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$90 (\cos (9 x) (- 10 \sin (10 x)) + \cos (10 x) (- 9 \sin (9 x) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$90 (\cos (9 x) (- 10 \sin (10 x)) + \cos (10 x) (- 9 \sin (9 x) \cdot 1))$

Этап 6.4

Умножим $- 9$ на $1$ .

$90 (\cos (9 x) (- 10 \sin (10 x)) + \cos (10 x) (- 9 \sin (9 x)))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$90 (\cos (9 x) (- 10 \sin (10 x))) + 90 (\cos (10 x) (- 9 \sin (9 x)))$

Этап 7.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $- 10$ на $90$ .

$- 900 (\cos (9 x) (\sin (10 x))) + 90 (\cos (10 x) (- 9 \sin (9 x)))$

Этап 7.2.2

Умножим $- 9$ на $90$ .

$- 900 \cos (9 x) \sin (10 x) - 810 \cos (10 x) \sin (9 x)$