Математический анализ Примеры

$f (x) = \arctan (\sqrt{x^{3}})$

Этап 1

Перепишем $\frac{d}{d x} [\arctan (\sqrt{x^{3}})]$ в виде $\frac{d}{d x} [\arctan (x \sqrt{x})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $x^{2}$ за скобки.

$\frac{d}{d x} [\arctan (\sqrt{x^{2} x})]$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x \sqrt{x})]$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x \cdot x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 3

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{1} x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{1 + \frac{1}{2}})]$

Этап 3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})]$

Этап 3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{2 + 1}{2}})]$

Этап 3.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{3}{2}})]$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 4.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 4.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{1 + {(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 4.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 4.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 4.3.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{3}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 5.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + x^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Этап 6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Этап 9.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 10

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 11

Умножим $\frac{1}{1 + x^{3}}$ на $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{3}) \cdot 2}$

Этап 12

Перенесем $2$ влево от $1 + x^{3}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + x^{3})}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 1 + 2 x^{3}}$

Этап 13.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 + 2 x^{3}}$

Этап 13.3

Изменим порядок членов.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3} + 2}$