Математический анализ Примеры

$f (x) = \arcsin (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в виде ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arcsin (x)$ и $g (x) = \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2

Производная $\arcsin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4

Перемножим экспоненты в ${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Этап 4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Этап 5

Упростим.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2}}$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2}}$

Этап 6.2

Умножим ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2}}$

Этап 7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 12.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 12.3

Перенесем ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 12.4

Объединим $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{1 + x^{2}}$

Этап 13

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 14

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 15

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{1 + x^{2}}$

Этап 16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{1 + x^{2}}$

Этап 17

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + x^{2}}$

Этап 17.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + x^{2}}$

Этап 17.3

Объединим $\frac{- 2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 18

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 19

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 20

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 21

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 22

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 23

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{1 + x^{2}}$

Этап 23.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 23.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 24

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 25

Чтобы записать ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 26

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 27

Умножим ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 27.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 27.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 27.4

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{1} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 28

Упростим ${(1 + x^{2})}^{1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{1 + x^{2} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 29

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{1 + 0}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 30

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 31

Перепишем $\frac{\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$ в виде произведения.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}})$

Этап 32

Умножим $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

Этап 33

Умножим ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1 + x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 33.1

Умножим ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 33.1.1

Возведем $1 + x^{2}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{1}}$

Этап 33.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 33.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 33.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 33.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 34

Умножим $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}}$ на $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 35

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 35.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 35.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 35.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 35.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 35.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 35.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 35.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{1}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 35.2.2

Упростим.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 35.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 35.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + x^{2} - x^{2}}{1 + x^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 35.2.5

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1 + x^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 35.2.6

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{1 + x^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 35.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{1}{1 + x^{2}}}}$

Этап 35.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 35.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{1 + x^{2}}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1 + x^{2}}}}$

Этап 35.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}}$

Этап 35.4.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})}$

Этап 35.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 35.4.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}}$

Этап 35.4.4.2

Возведем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}}$

Этап 35.4.4.3

Возведем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}}$

Этап 35.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}}$

Этап 35.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}}$

Этап 35.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ в виде $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 35.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в виде ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Этап 35.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Этап 35.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}}$

Этап 35.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 35.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}}$

Этап 35.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}}$

Этап 35.4.4.6.5

Упростим.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}$

Этап 35.5

Объединим ${(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}$

Этап 35.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 35.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в виде ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{1 + x^{2}}}$

Этап 35.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}}}{1 + x^{2}}}$

Этап 35.6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{3 + 1}{2}}}{1 + x^{2}}}$

Этап 35.6.4

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{4}{2}}}{1 + x^{2}}}$

Этап 35.6.5

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 35.6.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{1 + x^{2}}}$

Этап 35.6.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 35.6.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{1 + x^{2}}}$

Этап 35.6.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{1 + x^{2}}}$

Этап 35.6.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{1}}}{1 + x^{2}}}$

Этап 35.6.5.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{2}}{1 + x^{2}}}$

Этап 35.7

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 35.7.1

Сократим выражение $\frac{{(1 + x^{2})}^{2}}{1 + x^{2}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 35.7.1.1

Вынесем множитель $1 + x^{2}$ из ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}$

Этап 35.7.1.2

Умножим на $1$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}{(1 + x^{2}) \cdot 1}}$

Этап 35.7.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}{(1 + x^{2}) \cdot 1}}$

Этап 35.7.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{1 + x^{2}}{1}}$

Этап 35.7.2

Разделим $1 + x^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$