Математический анализ Примеры

$f (x) = \tan (x) - x^{3} \cos (x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $\tan (x) - x^{3} \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3} \cos (x)]$

Этап 2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x^{3} \cos (x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3} \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3} \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$ .

$\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$\sec^{2} (x) - (x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\sec^{2} (x) - (x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\sec^{2} (x) - (x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec^{2} (x) - (x^{3} (- \sin (x))) - (\cos (x) (3 x^{2}))$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sec^{2} (x) + 1 (x^{3} (\sin (x))) - (\cos (x) (3 x^{2}))$

Этап 4.2.2

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$\sec^{2} (x) + x^{3} \sin (x) - (\cos (x) (3 x^{2}))$

Этап 4.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\sec^{2} (x) + x^{3} \sin (x) - 3 \cos (x) x^{2}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \sec^{2} (x)$

Этап 4.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 4.4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.5.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 4.5.3

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \sec^{2} (x)$