Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (x) - \tan (x) + x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\sin (x) - \tan (x) + x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Этап 2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \tan (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Этап 3.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Этап 5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Этап 5.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Этап 5.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Этап 5.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Этап 5.4.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Этап 5.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Этап 5.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Этап 5.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Этап 5.8

Вычтем $4$ из $1$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Этап 6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.3

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 6.7

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 6.7.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 6.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 6.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 6.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 6.9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 6.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 6.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 6.11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 6.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 6.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 6.14

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $x^{- 1}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 6.15

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.15.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 6.15.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 6.15.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 6.15.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 6.15.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.15.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 6.15.5.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 6.15.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 6.16

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 6.17

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 6.18

Умножим $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ на $1$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 6.19

Умножим $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ на $0$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 0$

Этап 6.20

Добавим $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ и $0$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x + \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - \sec^{2} (x)$

Этап 7.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 7.4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7.5.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 7.5.3

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - \sec^{2} (x)$