Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (x) \sec^{2} (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \sec^{2} (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\sin (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$\sin (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3

Перенесем $2$ влево от $\sin (x)$ .

$2 \cdot \sin (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 \sin (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 5

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$2 \sin (x) (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 6

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$2 \sin (x) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \sin (x) {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 8

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \sin (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 9

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Изменим порядок членов.

$2 \sec^{2} (x) \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 10.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 10.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 10.2.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 10.2.5

Объединим $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 10.2.6

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 10.2.7

Объединим.

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 10.2.8

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.8.1

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.8.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 10.2.8.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 10.2.8.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 10.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.9.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 10.2.9.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 10.2.9.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 10.2.9.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 10.2.10

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)$

Этап 10.2.11

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Этап 10.2.12

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.12.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Этап 10.2.12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Этап 10.2.12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x)}$

Этап 10.2.13

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 10.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим на $1$ .

$\frac{2 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 10.3.2

Вынесем множитель $\cos^{2} (x)$ из $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{2 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 10.3.3

Разделим дроби.

$\frac{2 \cdot (1)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 10.3.4

Переведем $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ в $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cdot (1)}{\cos (x)} \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 10.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2}{\cos (x)} \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 10.3.6

Разделим дроби.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 10.3.7

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{2}{1} \sec (x) \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 10.3.8

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \sec (x) \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 10.3.9

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$2 \sec (x) \tan^{2} (x) + \sec (x)$