Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (\sec (3 x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \sec (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Этап 1.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (3 x)$ .

$\cos (\sec (3 x)) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$\cos (\sec (3 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 2.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\cos (\sec (3 x)) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$\cos (\sec (3 x)) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Этап 3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Этап 3.3.2

Перенесем $3$ влево от $\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \cdot (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Выразим $\sec (3 x)$ через синусы и косинусы.

$3 \cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)} \tan (3 x)$

Этап 4.2

Умножим $3 \cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $\frac{1}{\cos (3 x)}$ и $3$ .

$\frac{3}{\cos (3 x)} \cos (\sec (3 x)) \tan (3 x)$

Этап 4.2.2

Объединим $\frac{3}{\cos (3 x)}$ и $\cos (\sec (3 x))$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)} \tan (3 x)$

Этап 4.3

Выразим $\tan (3 x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Этап 4.4

Умножим $\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)}$ на $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos (3 x)}$

Этап 4.4.2

Возведем $\cos (3 x)$ в степень $1$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos (3 x)}$

Этап 4.4.3

Возведем $\cos (3 x)$ в степень $1$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos^{1} (3 x)}$

Этап 4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{1 + 1}}$

Этап 4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 4.5

Вынесем множитель $\cos (3 x)$ из $\cos^{2} (3 x)$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos (3 x)}$

Этап 4.6

Разделим дроби.

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)}$

Этап 4.7

Перепишем $\frac{\cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)}$ в виде произведения.

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)})$

Этап 4.8

Запишем $\cos (\sec (3 x))$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\frac{\cos (\sec (3 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)})$

Этап 4.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Разделим $\cos (\sec (3 x))$ на $1$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)})$

Этап 4.9.2

Переведем $\frac{1}{\cos (3 x)}$ в $\sec (3 x)$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x))$

Этап 4.10

Разделим дроби.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x))$

Этап 4.11

Переведем $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ в $\tan (3 x)$ .

$\frac{3}{1} \tan (3 x) (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x))$

Этап 4.12

Разделим $3$ на $1$ .

$3 \tan (3 x) \cos (\sec (3 x)) \sec (3 x)$