Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (\tan (x) \cdot \tan (x))$

Этап 1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\tan^{1} (x) \cdot \tan (x))]$

Этап 2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\tan^{1} (x) \cdot \tan^{1} (x))]$

Этап 3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [\ln ({\tan (x)}^{1 + 1})]$

Этап 4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\tan^{2} (x))]$

Этап 5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \tan^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Этап 5.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\tan^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Этап 6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Этап 6.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{1}{\tan (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\tan (x)})}^{2} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Этап 7

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

${(\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Этап 8

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Этап 9

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\cot^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Этап 10

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\tan (x)$ .

$\cot^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Этап 10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\cot^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Этап 10.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\tan (x)$ .

$\cot^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Этап 11

Перенесем $2$ влево от $\cot^{2} (x)$ .

$2 \cdot \cot^{2} (x) \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 12

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$2 \cot^{2} (x) \tan (x) \sec^{2} (x)$

Этап 13

Изменим порядок множителей в $2 \cot^{2} (x) \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$2 \cot^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x)$