Математический анализ Примеры

$f (x) = \sec (x) \tan (x) \sec^{2} (x)$

Этап 1

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \sec (x) \tan (x)]$

Этап 1.2

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \sec^{1} (x) \tan (x)]$

Этап 1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [{\sec (x)}^{2 + 1} \tan (x)]$

Этап 1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [\sec^{3} (x) \tan (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec^{3} (x)$ и $g (x) = \tan (x)$ .

$\sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Этап 3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Этап 4

Умножим $\sec^{3} (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sec (x)}^{3 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Этап 4.2

Добавим $3$ и $2$ .

$\sec^{5} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Этап 5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$\sec^{5} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 6

Перенесем $3$ влево от $\tan (x)$ .

$\sec^{5} (x) + 3 \cdot \tan (x) \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 7

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec^{5} (x) + 3 \tan (x) \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))$

Этап 8

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{5} (x) + 3 (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec^{2} (x) \sec (x)$

Этап 9

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{5} (x) + 3 (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec^{2} (x) \sec (x)$

Этап 10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec^{5} (x) + 3 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec^{2} (x) \sec (x)$

Этап 11

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec^{5} (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) \sec (x)$

Этап 12

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{5} (x) + 3 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x))$

Этап 13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec^{5} (x) + 3 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 2}$

Этап 14

Добавим $1$ и $2$ .

$\sec^{5} (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)$

Этап 15

Изменим порядок членов.

$3 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{5} (x)$