Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (x) \cdot \arcsin (x) - \frac{e^{x}}{x} + 1$

Этап 1

По правилу суммы производная $\ln (x) \cdot \arcsin (x) - \frac{e^{x}}{x} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\ln (x) \cdot \arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x) \cdot \arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (x) \cdot \arcsin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \arcsin (x)$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2

Производная $\arcsin (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\ln (x) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.4

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.5

Объединим $\arcsin (x)$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x}] + \frac{e^{x}}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{e^{x}}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{e^{x}}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{x}}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{x}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}} + \frac{e^{x}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.7

Умножим $\frac{e^{x}}{x}$ на $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}} + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.8

Добавим $- \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$ и $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}} + 0$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$ и $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Этап 5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}} + \frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}}$