Математический анализ Примеры

$f (x) = \log (- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2}))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log (x)$ и $g (x) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

Этап 1.2

Производная $\log (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})$ .

$\frac{1}{- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\cos (3 x^{2})$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\cos (3 x^{2}) \cdot 3}{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

Этап 2.2

Объединим $\ln (10)$ и $\frac{\cos (3 x^{2}) \cdot 3}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\ln (10) (\cos (3 x^{2}) \cdot 3)}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

Этап 2.3

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перенесем $3$ влево от $\cos (3 x^{2})$ .

$\frac{1}{- \frac{\ln (10) (3 \cdot \cos (3 x^{2}))}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

Этап 2.3.2

Перенесем $3$ влево от $\ln (10)$ .

$\frac{1}{- \frac{3 \cdot \ln (10) \cos (3 x^{2})}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

Этап 2.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{\frac{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

Этап 3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})}{2}$ .

$- (1 \frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})}) \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})}$ на $1$ .

$- \frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $\cos (3 x^{2})$ и $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [- \frac{\cos (3 x^{2}) \cdot 3}{2}]$

Этап 4.2.2

Перенесем $3$ влево от $\cos (3 x^{2})$ .

$- \frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [- \frac{3 \cdot \cos (3 x^{2})}{2}]$

Этап 4.3

Поскольку $- \frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3 \cos (3 x^{2})}{2}$ по $x$ равна $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})]$ .

$- \frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})} (- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})])$

Этап 4.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})} (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})])$

Этап 4.4.2

Умножим $\frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})}$ на $1$ .

$\frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})} (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})])$

Этап 4.4.3

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2 (3 \ln (10) \cos (3 x^{2}))} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})]$

Этап 4.4.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{2 (3 \ln (10) \cos (3 x^{2}))} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})]$

Этап 4.4.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{6 (\ln (10) \cos (3 x^{2}))} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})]$

Этап 4.4.5

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{6 \ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})]$

Этап 4.4.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})]$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Этап 5.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} (- \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{\ln (10) \cos (3 x^{2})}$ и $\sin (3 x^{2})$ .

$- \frac{\sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 6.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{\sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 \frac{\sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 6.3.2

Объединим $- 3$ и $\frac{\sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})}$ .

$\frac{- 3 \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 6.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 6.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{3 \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} (2 x)$

Этап 6.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{3 \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} x$

Этап 6.5.2

Объединим $- 2$ и $\frac{3 \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})}$ .

$\frac{- 2 (3 \sin (3 x^{2}))}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} x$

Этап 6.5.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{- 6 \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} x$

Этап 6.5.4

Объединим $\frac{- 6 \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})}$ и $x$ .

$\frac{- 6 \sin (3 x^{2}) x}{\ln (10) \cos (3 x^{2})}$

Этап 6.5.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6 \sin (3 x^{2}) x}{\ln (10) \cos (3 x^{2})}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Изменим порядок множителей в $6 \sin (3 x^{2}) x$ .

$- \frac{6 x \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})}$

Этап 7.2

Разделим дроби.

$- (\frac{6 x}{\ln (10)} \cdot \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x^{2})})$

Этап 7.3

Переведем $\frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x^{2})}$ в $\tan (3 x^{2})$ .

$- (\frac{6 x}{\ln (10)} \tan (3 x^{2}))$

Этап 7.4

Объединим $\frac{6 x}{\ln (10)}$ и $\tan (3 x^{2})$ .

$- \frac{6 x \tan (3 x^{2})}{\ln (10)}$