Математический анализ Примеры

$f (x) = \log (\sin (3 x^{2}))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log (x)$ и $g (x) = \sin (3 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (3 x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (3 x^{2})]$

Этап 1.2

Производная $\log (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x^{2})]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (3 x^{2})$ .

$\frac{1}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x^{2})]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Этап 2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)} (\cos (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\cos (3 x^{2})$ и $\frac{1}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)}$ .

$\frac{\cos (3 x^{2})}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\cos (3 x^{2})}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3

Объединим $3$ и $\frac{\cos (3 x^{2})}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)}$ .

$\frac{3 \cos (3 x^{2})}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{3 \cos (3 x^{2})}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)} (2 x)$

Этап 3.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим $2$ и $\frac{3 \cos (3 x^{2})}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)}$ .

$\frac{2 (3 \cos (3 x^{2}))}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)} x$

Этап 3.5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 \cos (3 x^{2})}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)} x$

Этап 3.5.3

Объединим $\frac{6 \cos (3 x^{2})}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)}$ и $x$ .

$\frac{6 \cos (3 x^{2}) x}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок множителей в $6 \cos (3 x^{2}) x$ .

$\frac{6 x \cos (3 x^{2})}{\sin (3 x^{2}) \ln (10)}$

Этап 4.2

Разделим дроби.

$\frac{6 x}{\ln (10)} \cdot \frac{\cos (3 x^{2})}{\sin (3 x^{2})}$

Этап 4.3

Переведем $\frac{\cos (3 x^{2})}{\sin (3 x^{2})}$ в $\cot (3 x^{2})$ .

$\frac{6 x}{\ln (10)} \cot (3 x^{2})$

Этап 4.4

Объединим $\frac{6 x}{\ln (10)}$ и $\cot (3 x^{2})$ .

$\frac{6 x \cot (3 x^{2})}{\ln (10)}$