Математический анализ Примеры

$f (x) = \log (arcsec (\sqrt{x}))$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log (arcsec (x^{\frac{1}{2}}))]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log (x)$ и $g (x) = arcsec (x^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $arcsec (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [arcsec (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2.2

Производная $\log (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [arcsec (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $arcsec (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [arcsec (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [arcsec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.2

Производная $arcsec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2} \sqrt{{u_{2}}^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{u_{2} \sqrt{{u_{2}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{1} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 5

Упростим.

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 6

Умножим $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1}}$ на $\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 13

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 14

Умножим $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$ на $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)) \cdot 2}$

Этап 15

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)))}$

Этап 15.2

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

Этап 16.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

Этап 16.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

Этап 16.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

Этап 16.1.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2 x^{1} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

Этап 16.2

Упростим $2 x^{1} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))$ .

$\frac{1}{2 x \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

Этап 17

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2 x \sqrt{x - 1} arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)}$