Математический анализ Примеры

$f (z) = \frac{2 \cos (z)}{z + 1}$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $z$ , производная $\frac{2 \cos (z)}{z + 1}$ по $z$ равна $2 \frac{d}{d z} [\frac{\cos (z)}{z + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d z} [\frac{\cos (z)}{z + 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ имеет вид $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ , где $f (z) = \cos (z)$ и $g (z) = z + 1$ .

$2 \frac{(z + 1) \frac{d}{d z} [\cos (z)] - \cos (z) \frac{d}{d z} [z + 1]}{{(z + 1)}^{2}}$

Этап 3

Производная $\cos (z)$ по $z$ равна $- \sin (z)$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) \frac{d}{d z} [z + 1]}{{(z + 1)}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $z + 1$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1])}{{(z + 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) (1 + \frac{d}{d z} [1])}{{(z + 1)}^{2}}$

Этап 4.3

Поскольку $1$ является константой относительно $z$ , производная $1$ относительно $z$ равна $0$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) (1 + 0)}{{(z + 1)}^{2}}$

Этап 4.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) \cdot 1}{{(z + 1)}^{2}}$

Этап 4.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z)}{{(z + 1)}^{2}}$

Этап 4.4.3

Объединим $2$ и $\frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z)}{{(z + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 ((z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (z (- \sin (z)) + 1 (- \sin (z)) - \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (z (- \sin (z))) + 2 (1 (- \sin (z))) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 (- z \sin (z)) + 2 (1 (- \sin (z))) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 (z \sin (z)) + 2 (1 (- \sin (z))) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Этап 5.3.3

Умножим $- \sin (z)$ на $1$ .

$\frac{- 2 z \sin (z) + 2 (- \sin (z)) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Этап 5.3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 z \sin (z) - 2 \sin (z) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Этап 5.3.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 z \sin (z) - 2 \sin (z) - 2 \cos (z)}{{(z + 1)}^{2}}$