Математический анализ Примеры

$f (z) = {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ и $g (x) = 1 + {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $1 + {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Этап 2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Этап 3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Этап 5.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и ${(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Этап 6.2

По правилу суммы производная $1 + {(x^{2} - 1)}^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}]$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}])$

Этап 6.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}])$

Этап 6.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}]$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}]$

Этап 7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2} - 1$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Этап 7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Этап 7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} - 1$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Этап 8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $3$ и $\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 (3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2} ({(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Этап 8.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{9 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} ({(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Этап 8.2.2

Объединим ${(x^{2} - 1)}^{2}$ и $\frac{9 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (9 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 8.2.3

Перенесем $9$ влево от ${(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$\frac{9 \cdot {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 8.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 8.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

Этап 8.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

Этап 8.6.2

Объединим $2$ и $\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2} x$

Этап 8.6.3

Умножим $9$ на $2$ .

$\frac{18 ({(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2} x$

Этап 8.6.4

Объединим $\frac{18 ({(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2}$ и $x$ .

$\frac{18 ({(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}) x}{2}$

Этап 8.6.5

Вынесем множитель $2$ из $18 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x$ .

$\frac{2 (9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$

Этап 9

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x)}{2 (1)}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Этап 9.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x}{1}$

Этап 9.4

Разделим $9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x$ на $1$ .

$9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x$

Этап 10

Изменим порядок множителей в $9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x$ .

$9 x {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{2}$