Математический анализ Примеры

$f (z) = 3 x y^{4} + \ln (4 x z^{2}) - 6 x y z^{2} + 6 y z$

Этап 1

По правилу суммы производная $3 x y^{4} + \ln (4 x z^{2}) - 6 x y z^{2} + 6 y z$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x y^{4}] + \frac{d}{d x} [\ln (4 x z^{2})] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y^{4}] + \frac{d}{d x} [\ln (4 x z^{2})] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x y^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $3 y^{4}$ является константой относительно $x$ , производная $3 x y^{4}$ по $x$ равна $3 y^{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 y^{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (4 x z^{2})] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 y^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (4 x z^{2})] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Этап 2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 y^{4} + \frac{d}{d x} [\ln (4 x z^{2})] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (4 x z^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 4 x z^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x z^{2}$ .

$3 y^{4} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x z^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$3 y^{4} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x z^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x z^{2}$ .

$3 y^{4} + \frac{1}{4 x z^{2}} \frac{d}{d x} [4 x z^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Этап 3.2

Поскольку $4 z^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $4 x z^{2}$ по $x$ равна $4 z^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 y^{4} + \frac{1}{4 x z^{2}} (4 z^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 y^{4} + \frac{1}{4 x z^{2}} (4 z^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Этап 3.4

Умножим $4$ на $1$ .

$3 y^{4} + \frac{1}{4 x z^{2}} (4 z^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Этап 3.5

Объединим $4$ и $\frac{1}{4 x z^{2}}$ .

$3 y^{4} + \frac{4}{4 x z^{2}} z^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Этап 3.6

Объединим $\frac{4}{4 x z^{2}}$ и $z^{2}$ .

$3 y^{4} + \frac{4 z^{2}}{4 x z^{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Сократим общий множитель.

$3 y^{4} + \frac{4 z^{2}}{4 x z^{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Этап 3.7.2

Перепишем это выражение.

$3 y^{4} + \frac{z^{2}}{x z^{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Этап 3.8

Сократим общий множитель $z^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Сократим общий множитель.

$3 y^{4} + \frac{z^{2}}{x z^{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Этап 3.8.2

Перепишем это выражение.

$3 y^{4} + \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x y z^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 6 y z^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x y z^{2}$ по $x$ равна $- 6 y z^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 y^{4} + \frac{1}{x} - 6 y z^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 y^{4} + \frac{1}{x} - 6 y z^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Этап 4.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$3 y^{4} + \frac{1}{x} - 6 y z^{2} + \frac{d}{d x} [6 y z]$

Этап 5

Поскольку $6 y z$ является константой относительно $x$ , производная $6 y z$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 y^{4} + \frac{1}{x} - 6 y z^{2} + 0$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $3 y^{4} + \frac{1}{x} - 6 y z^{2}$ и $0$ .

$3 y^{4} + \frac{1}{x} - 6 y z^{2}$

Этап 6.2

Изменим порядок членов.

$3 y^{4} - 6 z^{2} y + \frac{1}{x}$