Математический анализ Примеры

$f (y) = y \ln (11 x + 5 y)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y$ и $g (y) = \ln (11 x + 5 y)$ .

$y \frac{d}{d y} [\ln (11 x + 5 y)] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = \ln (y)$ и $g (y) = 11 x + 5 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $11 x + 5 y$ .

$y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [11 x + 5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [11 x + 5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $11 x + 5 y$ .

$y (\frac{1}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [11 x + 5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{11 x + 5 y}$ и $y$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [11 x + 5 y] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $11 x + 5 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [11 x] + \frac{d}{d y} [5 y]$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} (\frac{d}{d y} [11 x] + \frac{d}{d y} [5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 3.3

Поскольку $11 x$ является константой относительно $y$ , производная $11 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} (0 + \frac{d}{d y} [5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 3.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [5 y]$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [5 y] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 3.5

Поскольку $5$ является константой относительно $y$ , производная $5 y$ по $y$ равна $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} (5 \frac{d}{d y} [y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 3.6

Объединим $5$ и $\frac{y}{11 x + 5 y}$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [y] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} \cdot 1 + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 3.8

Умножим $\frac{5 y}{11 x + 5 y}$ на $1$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \ln (11 x + 5 y) \cdot 1$

Этап 3.10

Умножим $\ln (11 x + 5 y)$ на $1$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \ln (11 x + 5 y)$

Этап 4

Чтобы записать $\ln (11 x + 5 y)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{11 x + 5 y}{11 x + 5 y}$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \frac{\ln (11 x + 5 y) (11 x + 5 y)}{11 x + 5 y}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 y + \ln (11 x + 5 y) (11 x + 5 y)}{11 x + 5 y}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 y + \ln (11 x + 5 y) (11 x) + \ln (11 x + 5 y) (5 y)}{11 x + 5 y}$

Этап 6.1.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{5 y + 11 \ln (11 x + 5 y) x + \ln (11 x + 5 y) (5 y)}{11 x + 5 y}$

Этап 6.1.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{5 y + 11 \ln (11 x + 5 y) x + 5 \ln (11 x + 5 y) y}{11 x + 5 y}$

Этап 6.1.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.4.1

Упростим $11 \ln (11 x + 5 y)$ путем переноса $11$ под логарифм.

$\frac{5 y + \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) x + 5 \ln (11 x + 5 y) y}{11 x + 5 y}$

Этап 6.1.1.4.2

Упростим $5 \ln (11 x + 5 y)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$\frac{5 y + \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) x + \ln ({(11 x + 5 y)}^{5}) y}{11 x + 5 y}$

Этап 6.1.2

Изменим порядок множителей в $5 y + \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) x + \ln ({(11 x + 5 y)}^{5}) y$ .

$\frac{5 y + x \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) + y \ln ({(11 x + 5 y)}^{5})}{11 x + 5 y}$

Этап 6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{x \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) + y \ln ({(11 x + 5 y)}^{5}) + 5 y}{11 x + 5 y}$