Математический анализ Примеры

$f (y) = \sqrt{4 x^{3 - 1}} {(8 x + 2)}^{3}$

Этап 1

Перепишем $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{3 - 1}} {(8 x + 2)}^{3}]$ в виде $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x^{3 - 1}} {(8 x + 2)}^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} x^{3 - 1}} {(8 x + 2)}^{3}]$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x^{3 - 1}} {(8 x + 2)}^{3}]$

Этап 2

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x^{2}} {(8 x + 2)}^{3}]$

Этап 3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{d}{d x} [2 x {(8 x + 2)}^{3}]$

Этап 4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x {(8 x + 2)}^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x {(8 x + 2)}^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(8 x + 2)}^{3}]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(8 x + 2)}^{3}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [{(8 x + 2)}^{3}] + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 8 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 x + 2$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [8 x + 2]) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 2]) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 x + 2$ .

$2 (x (3 {(8 x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 2]) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

По правилу суммы производная $8 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$2 (x (3 {(8 x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2])) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (3 {(8 x + 2)}^{2} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x (3 {(8 x + 2)}^{2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.4

Умножим $8$ на $1$ .

$2 (x (3 {(8 x + 2)}^{2} (8 + \frac{d}{d x} [2])) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (x (3 {(8 x + 2)}^{2} (8 + 0)) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Добавим $8$ и $0$ .

$2 (x (3 {(8 x + 2)}^{2} \cdot 8) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.6.2

Умножим $8$ на $3$ .

$2 (x (24 {(8 x + 2)}^{2}) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x (24 {(8 x + 2)}^{2}) + {(8 x + 2)}^{3} \cdot 1)$

Этап 7.8

Умножим ${(8 x + 2)}^{3}$ на $1$ .

$2 (x (24 {(8 x + 2)}^{2}) + {(8 x + 2)}^{3})$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x (24 {(8 x + 2)}^{2})) + 2 {(8 x + 2)}^{3}$

Этап 8.2

Умножим $24$ на $2$ .

$48 (x ({(8 x + 2)}^{2})) + 2 {(8 x + 2)}^{3}$

Этап 8.3

Вынесем множитель $2 {(8 x + 2)}^{2}$ из $48 x {(8 x + 2)}^{2} + 2 {(8 x + 2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем множитель $2 {(8 x + 2)}^{2}$ из $48 x {(8 x + 2)}^{2}$ .

$2 {(8 x + 2)}^{2} (24 x) + 2 {(8 x + 2)}^{3}$

Этап 8.3.2

Вынесем множитель $2 {(8 x + 2)}^{2}$ из $2 {(8 x + 2)}^{3}$ .

$2 {(8 x + 2)}^{2} (24 x) + 2 {(8 x + 2)}^{2} (8 x + 2)$

Этап 8.3.3

Вынесем множитель $2 {(8 x + 2)}^{2}$ из $2 {(8 x + 2)}^{2} (24 x) + 2 {(8 x + 2)}^{2} (8 x + 2)$ .

$2 {(8 x + 2)}^{2} (24 x + 8 x + 2)$

Этап 8.4

Добавим $24 x$ и $8 x$ .

$2 {(8 x + 2)}^{2} (32 x + 2)$

Этап 8.5

Перепишем ${(8 x + 2)}^{2}$ в виде $(8 x + 2) (8 x + 2)$ .

$2 ((8 x + 2) (8 x + 2)) (32 x + 2)$

Этап 8.6

Развернем $(8 x + 2) (8 x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (8 x (8 x + 2) + 2 (8 x + 2)) (32 x + 2)$

Этап 8.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 2 + 2 (8 x + 2)) (32 x + 2)$

Этап 8.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 2 + 2 (8 x) + 2 \cdot 2) (32 x + 2)$

Этап 8.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 (8 \cdot 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 + 2 (8 x) + 2 \cdot 2) (32 x + 2)$

Этап 8.7.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1.2.1

Перенесем $x$ .

$2 (8 \cdot 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 2 + 2 (8 x) + 2 \cdot 2) (32 x + 2)$

Этап 8.7.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 (8 \cdot 8 x^{2} + 8 x \cdot 2 + 2 (8 x) + 2 \cdot 2) (32 x + 2)$

Этап 8.7.1.3

Умножим $8$ на $8$ .

$2 (64 x^{2} + 8 x \cdot 2 + 2 (8 x) + 2 \cdot 2) (32 x + 2)$

Этап 8.7.1.4

Умножим $2$ на $8$ .

$2 (64 x^{2} + 16 x + 2 (8 x) + 2 \cdot 2) (32 x + 2)$

Этап 8.7.1.5

Умножим $8$ на $2$ .

$2 (64 x^{2} + 16 x + 16 x + 2 \cdot 2) (32 x + 2)$

Этап 8.7.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$2 (64 x^{2} + 16 x + 16 x + 4) (32 x + 2)$

Этап 8.7.2

Добавим $16 x$ и $16 x$ .

$2 (64 x^{2} + 32 x + 4) (32 x + 2)$

Этап 8.8

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 (64 x^{2}) + 2 (32 x) + 2 \cdot 4) (32 x + 2)$

Этап 8.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1

Умножим $64$ на $2$ .

$(128 x^{2} + 2 (32 x) + 2 \cdot 4) (32 x + 2)$

Этап 8.9.2

Умножим $32$ на $2$ .

$(128 x^{2} + 64 x + 2 \cdot 4) (32 x + 2)$

Этап 8.9.3

Умножим $2$ на $4$ .

$(128 x^{2} + 64 x + 8) (32 x + 2)$

Этап 8.10

Развернем $(128 x^{2} + 64 x + 8) (32 x + 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$128 x^{2} (32 x) + 128 x^{2} \cdot 2 + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Этап 8.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$128 \cdot 32 x^{2} x + 128 x^{2} \cdot 2 + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Этап 8.11.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.2.1

Перенесем $x$ .

$128 \cdot 32 (x \cdot x^{2}) + 128 x^{2} \cdot 2 + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Этап 8.11.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$128 \cdot 32 (x^{1} x^{2}) + 128 x^{2} \cdot 2 + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Этап 8.11.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$128 \cdot 32 x^{1 + 2} + 128 x^{2} \cdot 2 + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Этап 8.11.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$128 \cdot 32 x^{3} + 128 x^{2} \cdot 2 + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Этап 8.11.3

Умножим $128$ на $32$ .

$4096 x^{3} + 128 x^{2} \cdot 2 + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Этап 8.11.4

Умножим $2$ на $128$ .

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Этап 8.11.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 64 \cdot 32 x \cdot x + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Этап 8.11.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.6.1

Перенесем $x$ .

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 64 \cdot 32 (x \cdot x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Этап 8.11.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 64 \cdot 32 x^{2} + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Этап 8.11.7

Умножим $64$ на $32$ .

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 2048 x^{2} + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Этап 8.11.8

Умножим $2$ на $64$ .

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 2048 x^{2} + 128 x + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

Этап 8.11.9

Умножим $32$ на $8$ .

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 2048 x^{2} + 128 x + 256 x + 8 \cdot 2$

Этап 8.11.10

Умножим $8$ на $2$ .

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 2048 x^{2} + 128 x + 256 x + 16$

Этап 8.12

Добавим $256 x^{2}$ и $2048 x^{2}$ .

$4096 x^{3} + 2304 x^{2} + 128 x + 256 x + 16$

Этап 8.13

Добавим $128 x$ и $256 x$ .

$4096 x^{3} + 2304 x^{2} + 384 x + 16$