Математический анализ Примеры

$f (x) = x (x - 2) (x - 3)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x (x - 2)$ и $g (x) = x - 3$ .

$x (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x - 2)]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$x (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x - 2)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x - 2)]$

Этап 2.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (x - 2) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x - 2)]$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x (x - 2) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x - 2)]$

Этап 2.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x (x - 2) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x - 2)]$

Этап 3

$x (x - 2) + (x - 3) (x \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$x (x - 2) + (x - 3) (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (x - 2) + (x - 3) (x (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (x - 2) + (x - 3) (x (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x (x - 2) + (x - 3) (x \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x (x - 2) + (x - 3) (x + (x - 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (x - 2) + (x - 3) (x + (x - 2) \cdot 1)$

Этап 4.6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $x - 2$ на $1$ .

$x (x - 2) + (x - 3) (x + x - 2)$

Этап 4.6.2

Добавим $x$ и $x$ .

$x (x - 2) + (x - 3) (2 x - 2)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + (x - 3) (2 x - 2)$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot - 2$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot - 2$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Этап 5.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x + x \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Этап 5.5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{1} + x \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Этап 5.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 1} + x \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Этап 5.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Этап 5.5.5

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$x^{2} - 2 \cdot x + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Этап 5.5.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} - 2 x + 2 (x^{1} x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Этап 5.5.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} - 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Этап 5.5.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} - 2 x + 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Этап 5.5.9

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Этап 5.5.10

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 6 x + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Этап 5.5.11

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 6 x - 2 \cdot x - 3 \cdot - 2$

Этап 5.5.12

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 6 x - 2 x + 6$

Этап 5.5.13

Вычтем $2 x$ из $- 6 x$ .

$x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 8 x + 6$

Этап 5.5.14

Добавим $x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 x + 6$

Этап 5.5.15

Вычтем $8 x$ из $- 2 x$ .

$3 x^{2} - 10 x + 6$