Математический анализ Примеры

$f (x) = x \sqrt{x - x^{8}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - x^{8}}$ в виде ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}] + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x - x^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - x^{8}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - x^{8}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x - x^{8})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x - x^{8})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.3

Перенесем ${(x - x^{8})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}] + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9

По правилу суммы производная $x - x^{8}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{8}]$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{8}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{d}{d x} [x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - (8 x^{7})) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 13

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 8 x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 8 x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 15

Умножим ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 8 x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Изменим порядок членов.

$(1 - 8 x^{7}) \frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 16.2

Умножим $1 - 8 x^{7}$ на $\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(1 - 8 x^{7}) x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 16.3

Чтобы записать ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(1 - 8 x^{7}) x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.4

Объединим ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(1 - 8 x^{7}) x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(1 - 8 x^{7}) x + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 x - 8 x^{7} x + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x - 8 x^{7} x + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.3

Умножим $x^{7}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.6.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x - 8 (x \cdot x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.3.2

Умножим $x$ на $x^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.6.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x - 8 (x^{1} x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x - 8 x^{1 + 7} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.3.3

Добавим $1$ и $7$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.4

Умножим ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.6.4.1

Перенесем ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.4.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{1} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.5

Упростим ${(x - x^{8})}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + (x - x^{8}) \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 8 x^{8} + x \cdot 2 - x^{8} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.7

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + 2 \cdot x - x^{8} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + 2 \cdot x - 2 x^{8}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.9

Добавим $x$ и $2 x$ .

$\frac{- 8 x^{8} + 3 x - 2 x^{8}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.10

Вычтем $2 x^{8}$ из $- 8 x^{8}$ .

$\frac{- 10 x^{8} + 3 x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.11

Вынесем множитель $x$ из $- 10 x^{8} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.6.11.1

Вынесем множитель $x$ из $- 10 x^{8}$ .

$\frac{x (- 10 x^{7}) + 3 x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.11.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$\frac{x (- 10 x^{7}) + x \cdot 3}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.11.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- 10 x^{7}) + x \cdot 3$ .

$\frac{x (- 10 x^{7} + 3)}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 10 x^{7}$ .

$\frac{x (- (10 x^{7}) + 3)}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.8

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$\frac{x (- (10 x^{7}) - 1 (- 3))}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (10 x^{7}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{x (- (10 x^{7} - 3))}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.10

Перепишем $- (10 x^{7} - 3)$ в виде $- 1 (10 x^{7} - 3)$ .

$\frac{x (- 1 (10 x^{7} - 3))}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x (10 x^{7} - 3)}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$