Математический анализ Примеры

$f (x) = x \sqrt{1 + 3 e^{x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + 3 e^{x}}$ в виде ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}] + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 1 + 3 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + 3 e^{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + 3 e^{x}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 + 3 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(1 + 3 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.2.2

Перенесем ${(1 + 3 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.2.3

Объединим $\frac{1}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}] + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.3

По правилу суммы производная $1 + 3 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.7

Объединим $3$ и $\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{3 x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{3 x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ и $e^{x}$ .

$\frac{3 x e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 x e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 10.3

Умножим ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{3 x e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 11

Чтобы записать ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12

Объединим ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14

Умножим ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Перенесем ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{1} \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15

Упростим ${(1 + 3 e^{x})}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{3 x e^{x} + (1 + 3 e^{x}) \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16

Перенесем $2$ влево от $1 + 3 e^{x}$ .

$\frac{3 x e^{x} + 2 \cdot (1 + 3 e^{x})}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x e^{x} + 2 \cdot 1 + 2 (3 e^{x})}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{3 x e^{x} + 2 + 2 (3 e^{x})}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{3 x e^{x} + 2 + 6 e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.3

Изменим порядок членов.

$\frac{3 e^{x} x + 6 e^{x} + 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.4

Изменим порядок множителей в $\frac{3 e^{x} x + 6 e^{x} + 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x e^{x} + 6 e^{x} + 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$