Математический анализ Примеры

$f (x) = - \cos (2 x) + \sin (2 x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- \cos (2 x) + \sin (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (2 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.2.2.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$- (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$- (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.2.7

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$2 \sin (2 x) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3.1.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (2 x) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$2 \sin (2 x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (2 x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \sin (2 x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 1.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \sin (2 x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Этап 1.3.5

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin (2 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Этап 2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Этап 2.2.2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$f'' (x) = 2 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Этап 2.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Этап 2.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Этап 2.2.6

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Этап 2.2.7

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (2 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.3.2.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Этап 2.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Этап 2.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Этап 2.3.7

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) - 4 \sin (2 x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член уравнения на $\cos (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Этап 5

Разделим дроби.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Этап 6

Переведем $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ в $\tan (2 x)$ .

$\frac{2}{1} \cdot \tan (2 x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Этап 7

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \tan (2 x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Этап 8

Сократим общий множитель $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель.

$2 \tan (2 x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Этап 8.2

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \tan (2 x) + 2 = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Этап 9

Разделим дроби.

$2 \tan (2 x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

Этап 10

Переведем $\frac{1}{\cos (2 x)}$ в $\sec (2 x)$ .

$2 \tan (2 x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \sec (2 x)$

Этап 11

Разделим $0$ на $1$ .

$2 \tan (2 x) + 2 = 0 \sec (2 x)$

Этап 12

Умножим $0$ на $\sec (2 x)$ .

$2 \tan (2 x) + 2 = 0$

Этап 13

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$2 \tan (2 x) = - 2$

Этап 14

Разделим каждый член $2 \tan (2 x) = - 2$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разделим каждый член $2 \tan (2 x) = - 2$ на $2$ .

$\frac{2 \tan (2 x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Этап 14.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \tan (2 x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Этап 14.2.1.2

Разделим $\tan (2 x)$ на $1$ .

$\tan (2 x) = \frac{- 2}{2}$

Этап 14.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Разделим $- 2$ на $2$ .

$\tan (2 x) = - 1$

Этап 15

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$2 x = \arctan (- 1)$

Этап 16

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$2 x = - \frac{π}{4}$

Этап 17

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Этап 17.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Этап 17.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Этап 17.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 17.3.2

Умножим $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

Этап 17.3.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Этап 18

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 19

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$2 x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 19.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$2 x = \frac{3 π}{4}$

Этап 19.3

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Этап 19.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Этап 19.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Этап 19.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 19.3.3.2

Умножим $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

Этап 19.3.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Этап 20

Решение уравнения $2 x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

Этап 21

Найдем вторую производную в $x = - \frac{π}{8}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 \cos (2 (- \frac{π}{8})) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Этап 22

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{8}$ в числитель.

$4 \cos (2 \frac{- π}{8}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Этап 22.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$4 \cos (2 \frac{- π}{2 (4)}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Этап 22.1.1.3

Сократим общий множитель.

$4 \cos (2 \frac{- π}{2 \cdot 4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Этап 22.1.1.4

Перепишем это выражение.

$4 \cos (\frac{- π}{4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Этап 22.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 \cos (- \frac{π}{4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Этап 22.1.3

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$4 \cos (\frac{7 π}{4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Этап 22.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$4 \cos (\frac{π}{4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Этап 22.1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Этап 22.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (2) \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Этап 22.1.6.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2 \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Этап 22.1.6.3

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Этап 22.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{8}$ в числитель.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{- π}{8})$

Этап 22.1.7.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{- π}{2 (4)})$

Этап 22.1.7.3

Сократим общий множитель.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{- π}{2 \cdot 4})$

Этап 22.1.7.4

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (\frac{- π}{4})$

Этап 22.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (- \frac{π}{4})$

Этап 22.1.9

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 22.1.10

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$2 \sqrt{2} - 4 (- \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 22.1.11

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} - 4 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 22.1.12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.12.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в числитель.

$2 \sqrt{2} - 4 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 22.1.12.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$2 \sqrt{2} + 2 (- 2) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 22.1.12.3

Сократим общий множитель.

$2 \sqrt{2} + 2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 22.1.12.4

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{2} - 2 (- \sqrt{2})$

Этап 22.1.13

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}$

Этап 22.2

Добавим $2 \sqrt{2}$ и $2 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2}$

Этап 23

$x = - \frac{π}{8}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{π}{8}$ — локальный минимум

Этап 24

Найдем значение y, если $x = - \frac{π}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{π}{8}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (2 (- \frac{π}{8})) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Этап 24.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{8}$ в числитель.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (2 (\frac{- π}{8})) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Этап 24.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (2 (\frac{- π}{2 (4)})) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Этап 24.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (2 (\frac{- π}{2 \cdot 4})) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Этап 24.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (\frac{- π}{4}) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Этап 24.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Этап 24.2.1.3

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Этап 24.2.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (\frac{π}{4}) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Этап 24.2.1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Этап 24.2.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{8}$ в числитель.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{- π}{8}))$

Этап 24.2.1.6.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{- π}{2 (4)}))$

Этап 24.2.1.6.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{- π}{2 \cdot 4}))$

Этап 24.2.1.6.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{- π}{4})$

Этап 24.2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (- \frac{π}{4})$

Этап 24.2.1.8

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 24.2.1.9

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4})$

Этап 24.2.1.10

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 24.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Этап 24.2.2.2

Вычтем $\sqrt{2}$ из $- \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 24.2.2.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Этап 24.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Этап 24.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 24.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Этап 24.2.2.3.2.4

Разделим $- \sqrt{2}$ на $1$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \sqrt{2}$

Этап 24.2.3

Окончательный ответ: $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Этап 25

Найдем вторую производную в $x = \frac{3 π}{8}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 \cos (2 (\frac{3 π}{8})) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 26

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$4 \cos (2 \frac{3 π}{2 (4)}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 26.1.1.2

Сократим общий множитель.

$4 \cos (2 \frac{3 π}{2 \cdot 4}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 26.1.1.3

Перепишем это выражение.

$4 \cos (\frac{3 π}{4}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 26.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$4 (- \cos (\frac{π}{4})) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 26.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 26.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в числитель.

$4 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 26.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (2) \frac{- \sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 26.1.4.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 26.1.4.4

Перепишем это выражение.

$2 (- \sqrt{2}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 26.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 26.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{3 π}{2 (4)})$

Этап 26.1.6.2

Сократим общий множитель.

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 4})$

Этап 26.1.6.3

Перепишем это выражение.

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (\frac{3 π}{4})$

Этап 26.1.7

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (\frac{π}{4})$

Этап 26.1.8

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{2} - 4 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 26.1.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1.9.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$- 2 \sqrt{2} + 2 (- 2) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 26.1.9.2

Сократим общий множитель.

$- 2 \sqrt{2} + 2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 26.1.9.3

Перепишем это выражение.

$- 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}$

Этап 26.2

Вычтем $2 \sqrt{2}$ из $- 2 \sqrt{2}$ .

$- 4 \sqrt{2}$

Этап 27

$x = \frac{3 π}{8}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3 π}{8}$ — локальный максимум

Этап 28

Найдем значение y, если $x = \frac{3 π}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{8}$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - \cos (2 (\frac{3 π}{8})) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 28.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - \cos (2 (\frac{3 π}{2 (4)})) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 28.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{8}) = - \cos (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 4})) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 28.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{8}) = - \cos (\frac{3 π}{4}) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 28.2.1.2

$f (\frac{3 π}{8}) = \cos (\frac{π}{4}) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 28.2.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 28.2.1.4

Умножим $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 28.2.1.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 28.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{3 π}{2 (4)}))$

Этап 28.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 4}))$

Этап 28.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{3 π}{4})$

Этап 28.2.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})$

Этап 28.2.1.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 28.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Этап 28.2.2.2

Добавим $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 28.2.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 28.2.2.3.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \sqrt{2}$

Этап 28.2.3

Окончательный ответ: $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Этап 29

Это локальные экстремумы $f (x) = - \cos (2 x) + \sin (2 x)$ .

$(- \frac{π}{8}, - \sqrt{2})$ — локальный минимум

$(\frac{3 π}{8}, \sqrt{2})$ — локальный максимум

Этап 30