Математический анализ Примеры

$x e^{- \frac{1}{x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{- \frac{1}{x}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{1}{x}}] + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- \frac{1}{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{1}{x}$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3

$x (e^{- \frac{1}{x}} (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.2

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $0$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + 0)) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.5.2

Добавим $x^{- 2}$ и $0$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} x^{- 2}) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{- 2} x^{1} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{- 2 + 1} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7

Добавим $- 2$ и $1$ .

$x^{- 1} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{- 1} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \cdot 1$

Этап 9

Умножим $e^{- \frac{1}{x}}$ на $1$ .

$x^{- 1} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Изменим порядок членов.

$e^{- \frac{1}{x}} x^{- 1} + e^{- \frac{1}{x}}$

Этап 10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- \frac{1}{x}} \frac{1}{x} + e^{- \frac{1}{x}}$

Этап 10.2.2

Объединим $e^{- \frac{1}{x}}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x} + e^{- \frac{1}{x}}$