Математический анализ Примеры

$f (x) = arcsec (x) - 2 x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $arcsec (x) - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [arcsec (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 1.2

Производная $arcsec (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - 1}$ в виде ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.6

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.10

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.11

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.13.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.15

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.16

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.17

Объединим $2$ и $\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot x) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.18

Объединим $\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $x$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} x}{2}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.19

Перенесем ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.20

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.21

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.22

Объединим $x$ и $\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.23

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.24

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.25

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.26

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.27

Умножим ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.28

Чтобы записать ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.29

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.30

Умножим ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.30.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.30.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.30.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.30.4

Разделим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.31

Упростим ${(x^{2} - 1)}^{1}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.32

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.33

Объединим $\frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и ${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

$f'' (x) = - \frac{(2 x^{2} - 1) {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.34

Перенесем ${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 0$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим правило умножения к $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})} + 0$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})} + 0$

Этап 2.4.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})} + 0$

Этап 2.4.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} (x^{2} - 1))} + 0$

Этап 2.4.2.2

Упростим.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} (x^{2} - 1))} + 0$

Этап 2.4.2.3

Умножим ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $x^{2} - 1$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Перенесем $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

Этап 2.4.2.3.2

Умножим $x^{2} - 1$ на ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.2.1

Возведем $x^{2} - 1$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

Этап 2.4.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{1 + \frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

Этап 2.4.2.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

Этап 2.4.2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2 + 1}{2}} x^{2}} + 0$

Этап 2.4.2.3.5

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}} + 0$

Этап 2.4.2.4

Добавим $- \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2 = 0$

Этап 4

Упростим $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1^{2}}} - 2 = 0$

Этап 4.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 2 = 0$

Этап 4.1.2

Умножим $\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ на $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 2 = 0$

Этап 4.1.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ на $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 2 = 0$

Этап 4.1.3.2

Перенесем $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 2 = 0$

Этап 4.1.3.3

Возведем $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 2 = 0$

Этап 4.1.3.4

Возведем $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1})} - 2 = 0$

Этап 4.1.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 1}} - 2 = 0$

Этап 4.1.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}} - 2 = 0$

Этап 4.1.3.7

Перепишем ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ в виде $(x + 1) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ в виде ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 2 = 0$

Этап 4.1.3.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 2 = 0$

Этап 4.1.3.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 2 = 0$

Этап 4.1.3.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 2 = 0$

Этап 4.1.3.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{1}} - 2 = 0$

Этап 4.1.3.7.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ((x + 1) (x - 1))} - 2 = 0$

Этап 4.1.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Перепишем.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 2 = 0$

Этап 4.1.4.2

Перенесем $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 2 = 0$

Этап 4.1.4.3

Возведем $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 2 = 0$

Этап 4.1.4.4

Возведем $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1})} - 2 = 0$

Этап 4.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 1}} - 2 = 0$

Этап 4.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}} - 2 = 0$

Этап 4.1.4.7

Перепишем ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ в виде $(x + 1) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ в виде ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 2 = 0$

Этап 4.1.4.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 2 = 0$

Этап 4.1.4.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 2 = 0$

Этап 4.1.4.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 2 = 0$

Этап 4.1.4.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{1}} - 2 = 0$

Этап 4.1.4.7.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ((x + 1) (x - 1))} - 2 = 0$

Этап 4.1.4.8

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Этап 4.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (x + 1) (x - 1)} - 2 \cdot \frac{x (x + 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 4.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Объединим $- 2$ и $\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (x + 1) (x - 1)} + \frac{- 2 (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 4.4.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 4.4.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 4.4.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 2 x^{2} - 2 x) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 4.4.4

Развернем $(- 2 x^{2} - 2 x) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{2} (x - 1) - 2 x (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 4.4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 4.4.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 4.4.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.5.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.5.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 4.4.5.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.5.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 4.4.5.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 4.4.5.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 4.4.5.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 4.4.5.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.5.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 4.4.5.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 4.4.5.1.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 x}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 4.4.5.2

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 0 + 2 x}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 4.4.5.3

Добавим $- 2 x^{3}$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 2 x}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 5

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx 1.09868411$

Этап 6

Найдем вторую производную в $x = 1.09868411$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{2 {(1.09868411)}^{2} - 1}{{(1.09868411)}^{2} {({(1.09868411)}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $1.09868411$ в степень $2$ .

$- \frac{2 \cdot 1.20710678 - 1}{{1.09868411}^{2} {({1.09868411}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.1.2

Умножим $2$ на $1.20710678$ .

$- \frac{2.41421356 - 1}{{1.09868411}^{2} {({1.09868411}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.1.3

Вычтем $1$ из $2.41421356$ .

$- \frac{1.41421356}{{1.09868411}^{2} {({1.09868411}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведем $1.09868411$ в степень $2$ .

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 {({1.09868411}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.2

Возведем $1.09868411$ в степень $2$ .

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 {(1.20710678 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.3

Вычтем $1$ из $1.20710678$ .

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot {0.20710678}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.4

Перепишем $0.20710678$ в виде ${0.45508986}^{2}$ .

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot {({0.45508986}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.5

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot {0.45508986}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 7.2.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot {0.45508986}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 7.2.6.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot {0.45508986}^{3}}$

Этап 7.2.7

Возведем $0.45508986$ в степень $3$ .

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot 0.09425219}$

Этап 7.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $1.20710678$ на $0.09425219$ .

$- \frac{1.41421356}{0.11377246}$

Этап 7.3.2

Разделим $1.41421356$ на $0.11377246$ .

$- 1 \cdot 12.43019179$

Этап 7.3.3

Умножим $- 1$ на $12.43019179$ .

$- 12.43019179$

Этап 8

$x = 1.09868411$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1.09868411$ — локальный максимум

Этап 9

Найдем значение y, если $x = 1.09868411$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.09868411$ .

$f (1.09868411) = arcsec (1.09868411) - 2 \cdot 1.09868411$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Найдем значение $arcsec (1.09868411)$ .

$f (1.09868411) = 0.42707858 - 2 \cdot 1.09868411$

Этап 9.2.1.2

Умножим $- 2$ на $1.09868411$ .

$f (1.09868411) = 0.42707858 - 2.19736822$

Этап 9.2.2

Вычтем $2.19736822$ из $0.42707858$ .

$f (1.09868411) = - 1.77028964$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $- 1.77028964$ .

$y = - 1.77028964$

Этап 10

Это локальные экстремумы $f (x) = arcsec (x) - 2 x$ .

$(1.09868411, - 1.77028964)$ — локальный максимум

Этап 11