Математический анализ Примеры

$f (x) = \arctan (x^{6})$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{6}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Этап 1.1.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{6}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{6})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{6})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{6 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Этап 1.2.1.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{12}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{1}{1 + x^{12}} (6 x^{5})$

Этап 1.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{1 + x^{12}}$ .

$\frac{6}{1 + x^{12}} x^{5}$

Этап 1.2.3.2

Объединим $\frac{6}{1 + x^{12}}$ и $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5}}{1 + x^{12}}$

Этап 1.2.3.3

Изменим порядок членов.

$\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{x^{12} + 1}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{x^{5}}{x^{12} + 1})$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = x^{12} + 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{12} + 1) \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} (x^{12} + 1)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{12} + 1) (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} (x^{12} + 1)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Этап 2.3.2

Перенесем $5$ влево от $x^{12} + 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 \cdot ((x^{12} + 1) x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} (x^{12} + 1)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $x^{12} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{12}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d x} (x^{12}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 12$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (12 x^{11} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Этап 2.3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (12 x^{11} + 0)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Этап 2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Добавим $12 x^{11}$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (12 x^{11})}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Этап 2.3.6.2

Умножим $12$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{5} x^{11}}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Этап 2.4

Умножим $x^{5}$ на $x^{11}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перенесем $x^{11}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 (x^{11} x^{5})}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Этап 2.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{11 + 5}}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Этап 2.4.3

Добавим $11$ и $5$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{16}}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Этап 2.5

Объединим $6$ и $\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{16}}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{6 ((5 x^{12} + 5 \cdot 1) x^{4} - 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{12} x^{4} + 5 \cdot (1 x^{4}) - 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{12} x^{4}) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.1

Умножим $x^{12}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.1.1

Перенесем $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 (x^{4} x^{12})) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{4 + 12}) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.1.3

Добавим $4$ и $12$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{16}) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.2

Умножим $5$ на $6$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.3

Умножим $5$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 6 (5 x^{4}) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.4

Умножим $5$ на $6$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 30 x^{4} + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.5

Умножим $- 12$ на $6$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 30 x^{4} - 72 x^{16}}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.4.2

Вычтем $72 x^{16}$ из $30 x^{16}$ .

$f'' (x) = \frac{- 42 x^{16} + 30 x^{4}}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1} = 0$

Этап 4

Приравняем числитель к нулю.

$6 x^{5} = 0$

Этап 5

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $6 x^{5} = 0$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разделим каждый член $6 x^{5} = 0$ на $6$ .

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 5.1.2.1.2

Разделим $x^{5}$ на $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{6}$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Разделим $0$ на $6$ .

$x^{5} = 0$

Этап 5.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[5]{0}$

Этап 5.3

Упростим $\sqrt[5]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Этап 5.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 6

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{- 42 {(0)}^{16} + 30 {(0)}^{4}}{{({(0)}^{12} + 1)}^{2}}$

Этап 7

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{- 42 \cdot 0 + 30 \cdot 0^{4}}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 42$ на $0$ .

$\frac{0 + 30 \cdot 0^{4}}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Этап 7.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0 + 30 \cdot 0}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Этап 7.1.4

Умножим $30$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Этап 7.1.5

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{0}{1^{2}}$

Этап 7.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{1}$

Этап 7.3

Разделим $0$ на $1$ .

$0$

Этап 8

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 8.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{6 {(- 2)}^{5}}{{(- 2)}^{12} + 1}$

Этап 8.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $5$ .

$f' (- 2) = \frac{6 \cdot - 32}{{(- 2)}^{12} + 1}$

Этап 8.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $12$ .

$f' (- 2) = \frac{6 \cdot - 32}{4096 + 1}$

Этап 8.2.2.2.2

Добавим $4096$ и $1$ .

$f' (- 2) = \frac{6 \cdot - 32}{4097}$

Этап 8.2.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.3.1

Умножим $6$ на $- 32$ .

$f' (- 2) = \frac{- 192}{4097}$

Этап 8.2.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 2) = - \frac{192}{4097}$

Этап 8.2.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{192}{4097}$ .

$- \frac{192}{4097}$

Этап 8.3

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{6 {(2)}^{5}}{{(2)}^{12} + 1}$

Этап 8.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Возведем $2$ в степень $5$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 32}{2^{12} + 1}$

Этап 8.3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Возведем $2$ в степень $12$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 32}{4096 + 1}$

Этап 8.3.2.2.2

Добавим $4096$ и $1$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 32}{4097}$

Этап 8.3.2.3

Умножим $6$ на $32$ .

$f' (2) = \frac{192}{4097}$

Этап 8.3.2.4

Окончательный ответ: $\frac{192}{4097}$ .

$\frac{192}{4097}$

Этап 8.4

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный минимум.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 9