Математический анализ Примеры

$f (x) = \arctan (x^{5})$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 1.1.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{5}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{5 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 1.2.1.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{10}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{1}{1 + x^{10}} (5 x^{4})$

Этап 1.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{1 + x^{10}}$ .

$\frac{5}{1 + x^{10}} x^{4}$

Этап 1.2.3.2

Объединим $\frac{5}{1 + x^{10}}$ и $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{1 + x^{10}}$

Этап 1.2.3.3

Изменим порядок членов.

$\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x^{10} + 1}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\frac{x^{4}}{x^{10} + 1})$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = x^{10} + 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{(x^{10} + 1) \frac{d}{d x} (x^{4}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{(x^{10} + 1) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Этап 2.3.2

Перенесем $4$ влево от $x^{10} + 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 \cdot ((x^{10} + 1) x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $x^{10} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} (x^{10}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 10$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Этап 2.3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9} + 0)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Этап 2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Добавим $10 x^{9}$ и $0$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9})}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Этап 2.3.6.2

Умножим $10$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{4} x^{9}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Этап 2.4

Умножим $x^{4}$ на $x^{9}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перенесем $x^{9}$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 (x^{9} x^{4})}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Этап 2.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{9 + 4}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Этап 2.4.3

Добавим $9$ и $4$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Этап 2.5

Объединим $5$ и $\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{5 ((4 x^{10} + 4 \cdot 1) x^{3} - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{10} x^{3} + 4 \cdot (1 x^{3}) - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{10} x^{3}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.1

Умножим $x^{10}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 (x^{3} x^{10})) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{3 + 10}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.1.3

Добавим $3$ и $10$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{13}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.2

Умножим $4$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.4

Умножим $4$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 20 x^{3} + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.4.1.5

Умножим $- 10$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 20 x^{3} - 50 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.4.2

Вычтем $50 x^{13}$ из $20 x^{13}$ .

$f'' (x) = \frac{- 30 x^{13} + 20 x^{3}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.5

Вынесем множитель $10 x^{3}$ из $- 30 x^{13} + 20 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Вынесем множитель $10 x^{3}$ из $- 30 x^{13}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 20 x^{3}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.5.2

Вынесем множитель $10 x^{3}$ из $20 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 10 x^{3} (2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.5.3

Вынесем множитель $10 x^{3}$ из $10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 10 x^{3} (2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10} + 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{10}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10}) + 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.7

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10}) - 1 \cdot - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{10}) - 1 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10} - 2))}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.9

Перепишем $- (3 x^{10} - 2)$ в виде $- 1 (3 x^{10} - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 1 (3 x^{10} - 2))}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{(10 x^{3}) (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.11

Изменим порядок множителей в $- \frac{(10 x^{3}) (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{3} (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1} = 0$

Этап 4

Приравняем числитель к нулю.

$5 x^{4} = 0$

Этап 5

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $5 x^{4} = 0$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разделим каждый член $5 x^{4} = 0$ на $5$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 5.1.2.1.2

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} = \frac{0}{5}$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Разделим $0$ на $5$ .

$x^{4} = 0$

Этап 5.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Этап 5.3

Упростим $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Этап 5.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 6

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{10 {(0)}^{3} (3 {(0)}^{10} - 2)}{{({(0)}^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 7

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} (3 \cdot 0 - 2)}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 7.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} (0 - 2)}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 7.1.3

Вычтем $2$ из $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} \cdot - 2}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 7.1.4

Умножим $- 2$ на $10$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0^{3}}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 7.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{{(0 + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{1^{2}}$

Этап 7.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{- 20 \cdot 0}{1}$

Этап 7.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $- 20$ на $0$ .

$- \frac{0}{1}$

Этап 7.3.2

Разделим $0$ на $1$ .

$- 0$

Этап 7.3.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0$

Этап 8

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 8.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{5 {(- 2)}^{4}}{{(- 2)}^{10} + 1}$

Этап 8.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{{(- 2)}^{10} + 1}$

Этап 8.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $10$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{1024 + 1}$

Этап 8.2.2.2.2

Добавим $1024$ и $1$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{1025}$

Этап 8.2.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.3.1

Умножим $5$ на $16$ .

$f' (- 2) = \frac{80}{1025}$

Этап 8.2.2.3.2

Сократим общий множитель $80$ и $1025$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $80$ .

$f' (- 2) = \frac{5 (16)}{1025}$

Этап 8.2.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $1025$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Этап 8.2.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Этап 8.2.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (- 2) = \frac{16}{205}$

Этап 8.2.2.4

Окончательный ответ: $\frac{16}{205}$ .

$\frac{16}{205}$

Этап 8.3

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{5 {(2)}^{4}}{{(2)}^{10} + 1}$

Этап 8.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{2^{10} + 1}$

Этап 8.3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Возведем $2$ в степень $10$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{1024 + 1}$

Этап 8.3.2.2.2

Добавим $1024$ и $1$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{1025}$

Этап 8.3.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.3.1

Умножим $5$ на $16$ .

$f' (2) = \frac{80}{1025}$

Этап 8.3.2.3.2

Сократим общий множитель $80$ и $1025$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $80$ .

$f' (2) = \frac{5 (16)}{1025}$

Этап 8.3.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $1025$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Этап 8.3.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Этап 8.3.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (2) = \frac{16}{205}$

Этап 8.3.2.4

Окончательный ответ: $\frac{16}{205}$ .

$\frac{16}{205}$

Этап 8.4

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 8.5

Локальный минимум или минимум для $f (x) = \arctan (x^{5})$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 9